Un peu de probabilités

[Near33]

Bonsoir à tous!
Je suis en école d'ingé (à Supelec, royaume de la physique pour mon plus grand malheur) et il y a deux ou trois choses que je n'ai pas très bien comprises dans mon cours de proba.

Si on se donne une variable aléatoire réelle X, et qu'on considère la fonction f ainsi que la variable aléatoire réelle Y = f(X).

1. Je sais calculer son espérance. Comme on a E(X) = intégrale sur R de t g(t) dt, où g est la densité de X (ici je me mets dans le cas où elle existe), on a E(Y) = intégrale sur R de f(t) g(t) dt. Quelqu'un pourrait-il me dire pourquoi? Je ne me représente pas du tout ce qui se passe quand j'écris cela, bien que j'aie compris ce que représente l'espérance en temps normal.

2. De manière plus générale, si g est la densité de X. Quelle est la densité de f(X) ? f fonction quelconque éventuellement exotique comme f(u) = ln(1 + u.exp(-u²)) par exemple ^^, bien que je pense que le jour de mes partielles, si on me pose une telle question ce sera plutôt pour f fonction monomiale, ou f = exp ou ln.

3. Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles, que représente Z = X + Y ? Z = X + Y² ? Z = h(X,Y) , h quelconque ?
Par exemple, X est la variable aléatoire représentant la taille des chaussures d'une classe de première année à Supélec, et Y est la variable aléatoire représentant l'âge des sénateurs américains à la date 11 avril 1983, 17:36 heure de New York.

Merci d'avance!

Edit. L'heure étant avancée j'ai fait une bêtise, il faudrait mettre ce topic dans la section appopriée, Supérieur j'imagine... désolé

[Sylviel]

Effectivement, tu t'es trompé de section... J'ai corrigé.

Alors pour tes questions :
1) l'espérance c'est la moyenne pondérée de ta variable. Grosso modo à chaque valeur possible de ta variable tu associe sa "probabilité" : tu multiplie chaque valeur f(t) par son "poid" g(t), puis tu sommes sur toutes les valeurs possible.

2) la densité c'est la dérivée de la fonction de répartition. Que vaut la fonction de répartition de f(X) ? Que vaut sa dérivée ?

3) Il faut que X et Y soit à valeurs dans le même ensemble (munie des lois internes aséquates) pour que la somme / le produit des deux variables est un sens. Pour h(X,Y) il faut que la fonction soit définie sur AxB tel que A contienne l'ensemble image de X, et B contienne l'ensemble image de Y.

[Near33]

Effectivement, tu t'es trompé de section... J'ai corrigé.

Alors pour tes questions :
1) l'espérance c'est la moyenne pondérée de ta variable. Grosso modo à chaque valeur possible de ta variable tu associe sa "probabilité" : tu multiplie chaque valeur f(t) par son "poid" g(t), puis tu sommes sur toutes les valeurs possible.

2) la densité c'est la dérivée de la fonction de répartition. Que vaut la fonction de répartition de f(X) ? Que vaut sa dérivée ?

3) Il faut que X et Y soit à valeurs dans le même ensemble (munie des lois internes aséquates) pour que la somme / le produit des deux variables est un sens. Pour h(X,Y) il faut que la fonction soit définie sur AxB tel que A contienne l'ensemble image de X, et B contienne l'ensemble image de Y.

1. OK j'ai compris.

2. C'est bien ça ma question! Si on note t -> w(t) la densité de f(X), l'espérance nous dit que l'intégrale sur R de t.w(t) dt vaut l'intégrale sur R de f(t).g(t) dt mais cela ne m'est d'aucune utilité.

3. C'est le cas ici. X est à valeur dans N inter [30, +infini[ et Y aussi, raisonnablement. En fait je vois que dans les exercices on additionne et multiplie sans scrupules des variables aléatoires réelles sans jamais trop se demander ce que cela signifie... or je trouve essentiel de savoir ce que l'on fait et de se représenter les choses, c'est quand même la base des maths ^^

[Near33]

Par ailleurs, il y a d'autres questions que je me pose.

Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles indépendantes, Z = X.Y correspond-il à la variable aléatoire réelle "X ET Y" ? (et de même, X + Y correspond-il à la variable aléatoire réelle "X OU Y' ?)
Par exemple, admettons que X et Y soient deux lois exponentielles, de densités respectives f et g:
Il existe a > 0, b > 0 tels que:
f(t) = 0 si t < 0 || a.exp(-a.t) si t >= 0
g(t) = 0 si t < 0 || b.exp(-b.t) si t >= 0

La probabilité de Z vaut celle de X multipliée par celle de Y, c'est à dire: (1 - exp(-at)) . (1 - exp(-bt))
Et pour connaître la densité de Z, il suffit de dériver cette expression. Ai-je juste?

Mais alors, il viendrait que la variable aléatoire réelle correspondant à X est la même que X + X (X ou X), et donc correspondrait à la même que kX pour tout k de N* par récurrence immédiate. Ce qui est étrange car l'espérance est linéaire, donc E(kX) = kE(X) et non pas E(X)...

[Sylviel]

2) Tu n'as pas bien lu ce que je te disais : que vaut la fonction de répartition (Regarde la définition si tu en as besoin) ?

3) Si si, on sait très bien de quoi on parle. Une variable aléatoire est une fonction (mesurable) de l'ensemble des évènements ( ) dans R. On est en train d'additionner, de multiplier des fonctions, pas de quoi se mettre martel en tête

Pour tes nouvelles questions :
Non X+Y est la fonction qui a x associe X(x)+Y(x). Rien a voir avec les règles logique de ET ou de OU qui n'ont pas de sens ici...