Un peu de proba !!!!

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Tlanne
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un peu de proba !!!!

par Tlanne » 07 Aoû 2007, 17:08

Bonjour j'ai cet exercice qui m'embête :triste: :

X v.a de fonction de répartition F(x)=0 si x=b, où &>0 et b>0. (^ est l'élevation à la puissance).

1. Calculer E(X) (espérance de X); pour quelles valeurs de & et b E(X) est finie?

2. Calculer V(X) (variance de X); pour quelles valeurs de & et b V(X) est finie?

3. Soit la v.a Z=0 si X < M1
Z= X - M1 si M1 <= X <= M2
Z= (M2 -M1) + (1/2)*(X - M2) si X > M2
Calculer E(Z) si & = 3,5; b = 30.000; M1 = 20.000 et M2 = 40.000



HAL 9000
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par HAL 9000 » 07 Aoû 2007, 17:31

Indices : la fonction de répartition F d'une v.a X de densité de probabilité f est définie notamment par la relation :

F'(x) = f(x) pour tout x réel


Et comme la question 1 est résolue...

Deuxièmement, par définition on a :



Enfin, l'espérence mathématique du fait de sa définition (voir ci-dessus) est une application linéaire, par conséquent calculer E(Z) ne pose aucune difficulté...

alben
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par alben » 07 Aoû 2007, 17:40

HAL 9000 a écrit:Et comme la question 1 est résolue...

Attention c'est faux, il manque un facteur t TEX]E(X) = \int f(t).t.dt[/TEX]

HAL 9000
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par HAL 9000 » 07 Aoû 2007, 17:47

Exact Alben, il me semblait l'avoir mis mais mon clavier en a voulu autrement...

Pouick
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par Pouick » 07 Aoû 2007, 18:09

lol ..c marrant..j'ai deja cru voir ce post ailleurs... ^^

Tlanne
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par Tlanne » 08 Aoû 2007, 09:50

c'est trop facile comme indication car il suffit pour vous d'appliquer les définitions de E(X) et V(X) et leurs propriétés...
Dans la même foulée, je pourrais dire que, pour une v.a positive X, E(X) est l'intégrale de la fonction de queue (1-F(X)) sur le support de X. C'est plus court que intégrer tf(t)dt.

Quand à la v.a Z elle a une forme "bizarre" :!:

Essayer d'écrire quelque chose et faites moi signe, lol.

Ce n'est pas si évident que ça.

A bientôt :zen:


HAL 9000 a écrit:Indices : la fonction de répartition F d'une v.a X de densité de probabilité f est définie notamment par la relation :

F'(x) = f(x) pour tout x réel


Et comme la question 1 est résolue...

Deuxièmement, par définition on a :



Enfin, l'espérence mathématique du fait de sa définition (voir ci-dessus) est une application linéaire, par conséquent calculer E(Z) ne pose aucune difficulté...

alben
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par alben » 08 Aoû 2007, 10:12

Ca ressemble à du fout.. de gueule.
Les indications qui t'ont été données sont largement suffisantes pour faire ton problème qui est à peine niveau lycée.

Tlanne
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par Tlanne » 08 Aoû 2007, 13:28

Mais non Alben !!!
C'est sérieux mon truc, essaye de le résoudre et tu verras les problèmes d'existence des intégrales :cry:
ça fait un bout de temps que j'essaye...
beh si tu le prends comme ça, je suis vraiment navré :hum:



alben a écrit:Ca ressemble à du fout.. de gueule.
Les indications qui t'ont été données sont largement suffisantes pour faire ton problème qui est à peine niveau lycée.

alben
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par alben » 08 Aoû 2007, 13:37

Si &>2, il n'y a pas de problème
Montre ce que tu as fait et où ça bloque
PS corrigé c'est &>2 pour la variance

HAL 9000
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par HAL 9000 » 08 Aoû 2007, 13:46

Tlanne le but n'est pas que l'on te fasse ton exercice mais que tu fasses la démarche afin que tu comprennes par toi-même...
Montre nous a la limite ce que tu trouves pour l'instant et on te donneras de nouvelles pistes plus explicites s'il le faut...

BQss
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par BQss » 08 Aoû 2007, 14:43

Salut, en effet il n'y a pas besoin de dériver, par contre si tu as compris ça, c'est encore plus etonnant que tu n'y arrives pas:
(avec b>0)

Le probleme n'est qu'en l'infini, et les valeur de & pour lesquelles cette integrale converge sont connues, si &>1 converge, si non ca diverge...
Et b ne doit pas être égal à l'infini...

BQss
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par BQss » 08 Aoû 2007, 17:25

Tlanne a écrit:Dans la même foulée, je pourrais dire que, pour une v.a positive X, E(X) est l'intégrale de la fonction de queue (1-F(X)) sur le support de X.

Pas sur le support mais sur , simplement que ailleurs que sur le support 1-F(t)=1-0=P(X>t)=1(cf post ci-dessus)

Tlanne
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par Tlanne » 08 Aoû 2007, 22:38

Salut BQss

Je pense que 1-F(x) donne (b/x)^& simplement à intéger pour x>=b.

Ce qui donne pour &>2 et b>0, E(X)=b/(&-1)

Pour V(X), ça coince je cherche la fonction de répartion de Y=X^2 et je calcule E(Y) comme ci-dessus par intégration de la fonction de queue. Cette technique efficace est difficile à mettre en oeuvre (erreurs de calculs)...

Je trouve G(y) fdr de Y, G(y)= F(y^(1/2))-F(-(y^(1/2)) pour y>=0
En calculant F(x) aux points y^(1/2) et -(y^(1/2)) je trouve une fdr G(y) bizarroïde et le calcul de E(Y) donc E(X^2) coince; je trouve une contradiction pour la condition de convergence: &>= et &t)dt=\int_0^{\infty} (1-F(x))dx= \int_0^b 1dx + \int_b^{\infty} (b/x)^&dx=b+\int_b^{\infty} (b/x)^&dx[/TEX](avec b>0)

Le probleme n'est qu'en l'infini, et les valeur de & pour lesquelles cette integrale converge sont connues, si &>1 converge, si non ca diverge...
Et b ne doit pas être égal à l'infini...[/quote]

Tlanne
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par Tlanne » 08 Aoû 2007, 22:44

Pour E(X), je trouve la condition de cvgce &>2 et b>0 et E(X)=b/(&-1)
Je câle sur les conditions de V(X), je trouve une bête contradiction sur &:
&>=1 et &>1

Comment tu as fait pour trouver ta condition sur & et quelle est la valeur de
V(X)?




alben a écrit:Si &>2, il n'y a pas de problème
Montre ce que tu as fait et où ça bloque
PS corrigé c'est &>2 pour la variance

BQss
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par BQss » 08 Aoû 2007, 22:51

Tlanne a écrit:Salut BQss

Je pense que 1-F(x) donne (b/x)^& simplement à intéger pour x>=b.



Bonsoir,

Tu te trompes, que vaut 1-F(t)=P(X>t) entre 0 et b d'après toi, si intuitivement tu ne vois pas(sachant que le support de X est [b;+inf[), fais le calcul à l'aide de la fonction indicatrice, c'est un calcul d'une ligne.

Quel est la probabilité que je sois superieur a, si a est inferieur a b et que X>=b...

BQss
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par BQss » 08 Aoû 2007, 23:01

Je pense que 1-F(x) donne (b/x)^& simplement à intéger pour x>=b.

Ce qui donne pour &>2 et b>0, E(X)=b/(&-1)



et c'est &>1(et b different de l'infini), et ton esperance est fausse donc car il manque un b* ( E(X)=b/(&-1)+b ) ca sert a quoi de t'aider si tu ne cherches pas a comprendre?
J'avoue que t'es assez agacant :marteau: .

En fait chacun de tes resultats different des miens, je me demande en fait si tu as vraiment LU mon/nos messages car les autres t'ont pas mal aidé aussi ... Mon calcul etait pourtant clair.

*edit correction

emdro
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par emdro » 08 Aoû 2007, 23:13

HORS SUJET mais message à @BQss,

ton quota de message est atteint: je ne peux pas t'écrire! :help:

BQss
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par BQss » 09 Aoû 2007, 00:31

BQss a écrit:Salut, en effet il n'y a pas besoin de dériver, par contre si tu as compris ça, c'est encore plus etonnant que tu n'y arrives pas:
(avec b>0)

Le probleme n'est qu'en l'infini, et les valeur de & pour lesquelles cette integrale converge sont connues, si &>1 converge, si non ca diverge...
Et b ne doit pas être égal à l'infini...


En ce qui concerne P(X>t) c'est ca mais cependant quand je controle la valeur de l'esperance en derivant la fonction de repartition et en utilisant la formule cela ne colle pas, +b n'apparait pas.

C'est donc de la que vient le probleme et en integrant sur le support de X cela marcherait en effet.
Mais ca m'etonne beaucoup , l'important est que x soit positif dans cette formule ensuite peu importe son support normalement: dans le cas discret la formule est par exemple:
meme si X avait une probabilité nulle jusqu'a i, il ne faudrait pas débuter les sommations à i:
il est en effet important de sommer les P(X>t) avant afin de simuler le produit k qui apparait dans l'esperance et on compte ainsi k fois P(X=k) grace a cette formule(c'est a dire dans tout les P(X>j) avec j1 que E(X)(pour la variance c'est pour superieur à 2 trivialement) est finie et ca diverge si non et la formule de P(X>t) est bien

BQss
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par BQss » 09 Aoû 2007, 00:56

Bon je trouve pas mais ca se demontre:

pour X>0
on a

PS: Hall 900 et Alben si vous voyez pourquoi les deux formules different dans le resultat de l'esperance faites moi signe ;). Prendre le support dans ma formule n'est pas correct, cf demo au dessus, pourtant cela fait correspondre les deux manieres de calculer...

Tlanne
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par Tlanne » 09 Aoû 2007, 16:00

Salut tout le monde,

Ben, j'ai revu mes calculs et je retrouve les résultats de certains de vous:

1°) E(X)=b&/(&-1) ou b+b/(&-1) (BQss)
conditions d'existence, &>1 et b>0, b fini.

2°) V(X)=&b^2/[(&-2)(&-1)^2]
condition d'existence, &>2 et b>0, b fini (alben et BQss)
Quelqu'un peut-il confirmer la valeur de V(X)?
J'ai trouvé V(X) en utilisant la densité f(x) car l'utilisation de la fdr de Y=X^2 me conduit à des incongruités et pourtant... L'idée est que V(X)=E(Y)-(E(X))^2

Remarque: J'ai également utilisé la densité pour vérifier le calcul de E(X); c'est vrai que le b disparaît des calculs (l'observation de BQss) mais se retrouve dans le résultat final comme ci-dessus. Aussi pour que E(X) ait un sens, outre la condition sur &, il faut nécessairement que b soit fini (on sait déjà qu'il est strictement positif).

3°)E(Z)
Je trouve des résultats différent selon que je travaille avec f(x) ou avec F(X)
Je continue de regarder...

A tantôt...


BQss a écrit:Bon je trouve pas mais ca se demontre:

pour X>0
on a

PS: Hall 900 et Alben si vous voyez pourquoi les deux formules different dans le resultat de l'esperance faites moi signe ;). Prendre le support dans ma formule n'est pas correct, cf demo au dessus, pourtant cela fait correspondre les deux manieres de calculer...

 

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