gaia38 a écrit:Bonjour, une petite question me taraude en physique, mais c'est bien de maths dont il est question.
On résout une l'eq diff sous la forme
+\frac{\omega_0}{Q}u'(t)+\omega_0^2u(t)=0)
on resout le polynôme caractéristique puis on découpe en deux les deux exponentielles trouvées mais on obtient
=exp(\frac{-\omega_0}{2Q})*(exp(j\omega)+exp(-j\omega)))
de la je comprend pas comment on simplifie le second facteur par
+B*sin(\omega*t))
mathématiquement, en développant les exponentielles imaginaires, les deux sin devraient se simplifier et les deux cos s'ajouter non?
Salut,
Bon déjà il faut que tu justifies le régime dans lequel tu travailles. Manifestement, c'est le régime pseudo-amorti, mais c'est à préciser !
Du coup, il s'agit plutôt de
=exp(\frac{-\omega_0}{2Q})\(A exp(j\omega' t)+B exp(-j\omega' t)\))
où
, A et B étant des constantes d'intégration à déterminer grâce aux conditions initiales et - éventuellement - grâce à la physique du problème.
Remarque que si le facteur d'amortissement
est petit, son carré est d'autant plus petit, et alors :
. Cela se traduit par un comportement quasi-périodique (au sens fréquentiel du terme) dû à une dissipation minime de l'énergie du balancier/système ressort-amortisseur, etc.
On tend donc vers l'équation
+\omega_0^2 u(t)=0)
Maintenant,
\(A exp(j\omega' t)+B exp(-j\omega' t)\))
est une combinaison linéaire complexe de deux solutions de l'équation "amortie".
Par linéarité, toute combinaison linéaire de ces solution est également solution, donc tant qu'à faire, choisissons des combinaisons formant des réels, puisque nous voulons que la solution soit réelle :
\frac{exp(j\omega' t) + exp(-j\omega' t)}{2} = exp(\frac{-\omega_0}{2Q})\cos(\omega' t))
ainsi que
\frac{exp(j\omega' t) - exp(-j\omega' t)}{2j} = exp(\frac{-\omega_0}{2Q})\sin(\omega' t))
sont également solutions du problème. Donc il existe deux réels C et D tels que :
\(A exp(j\omega' t)+B exp(-j\omega' t)\) = exp(\frac{-\omega_0}{2Q})\(C \cos(\omega' t) + D\sin(\omega' t)\))
