Un peu de morphismes

[Ncdk]

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour un exercice, du moins c'est plutôt un point de cours qui fait défaut.

Si un entier, on note U_n le sous-groupe de x constitué par les racines n-ièmes de l'unité.
1) Montrer que si sont deux entiers tels que , alors les groupes x et ne sont pas isomorphes.

Pour prouver que c'est pas un isomorphisme, peut-on simplement montrer que x ne possède pas d'éléments d'ordres mn ?
Mais je sais pas comment partir, genre je voulais dire qu'on prends un couple x , d'ordres respectifs m et n, mais ensuite je vois pas comment arriver à dire qu'au final arrivé à une absurdité...

2) On suppose que sont deux entiers tels que . Montrer que l'application x définie par est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau (Indication : penser à Bézout) et en déduire que x et sont isomorphes.

J'ai prouver le morphisme de groupe, mais après je vois pas pourquoi on a cette indication pour montrer le contenu du noyau, car si f est injectif, ce qui est pas compliqué, à moins que je me trompe, je sais directement que le noyau c'est

Du coup à partir de là, comment montrer que c'est un isomorphisme, il faudrait que je prouve que f est une bijection... Est-ce que le noyau réduit à l'élément neutre permet de conclure, si oui je vois pas pourquoi en fait.

[zygomatique]

salut

si f : E --> F est un morphisme de groupes alors évidemment f(0) = 0 (en notation additive)

mais si f(a) = f(b) avec a <> b alors f(a - b) = 0 donc a - b est dans le noyau de f

donc f injectif <=> Ker f = {0} (E et F sont finis)

[Ben314]

Salut,
C'est le même exercice que le précédent (en plus simple : ici on a un "cas concret") :
Tout élément de Un x Um a un ordre qui divise ppcm(n,m) (c.f.exo précédent) et, si pgcd(m,n)=1 alors ppcm(m,n)
Ça marche parfaitement, mais perso, j'aurais plutôt écrit que l'application "naturelle" de Um x Un (vu comme produit direct d'ensembles) dans UnxUm (dans produit de sous-groupes) qui à (x,y) associe xy est surjective (par définition), mais n'est pas injective (facile à voir) donc le cardinal de l'ensemble d'arrivé est < à celui de départ qui lui est égal à celui de Umn.

Et concernant la question 2), le noyau de f, c'est évidement les couples (x,x^-1) et pour qu'un tel couple soit dans Un x Um il faut que x soit dan Un et Um or on a vu (exo précédent) que, si m et n sont premier entre eux, L'intersection de Um et Un était {e}.

Enfin, il serait peut-être de bon ton de comprendre les question posées.
Si on te dit de déterminer Ker(f) et d'en déduire que f est un isomorphisme, ça veut évidement dire que tu doit montrer que Ker(f)={e} puis utiliser Ker(f)={e} => f injective et que c'est surement pas l'implication réciproque (vrai elle aussi) qui va t'être utile ici !!!

[Ncdk]

salut

si f : E --> F est un morphisme de groupes alors évidemment f(0) = 0 (en notation additive)

mais si f(a) = f(b) avec a b alors f(a - b) = 0 donc a - b est dans le noyau de f

donc f injectif Ker f = {0} (E et F sont finis)

D'accord merci, pourtant dans mon cours j'ai pas noté que E et F sont finis, ça se généralise pas pour des ensembles infinis ?

[Ncdk]

Salut,
C'est le même exercice que le précédent (en plus simple : ici on a un "cas concret") :
Tout élément de Un x Um a un ordre qui divise ppcm(n,m) (c.f.exo précédent) et, si pgcd(m,n)=1 alors ppcm(m,n) f injective et que c'est surement pas l'implication réciproque (vrai elle aussi) qui va t'être utile ici !!!

D'accord merci D'où le fait qu'on a l'indication d'utiliser Bézout.
Du coup comme j'ai réussi à prouver par Bézout que Ker(f)=e, donc on sait que f est injective.

Dans l'immédiat, comme on a l'habitude depuis quelques exercices à se servir du cardinal d'un ensemble pour prouver si c'est bijectif ou pas, vu que je dois trouver que c'est un isomorphisme, alors l'ensemble de départ doit avoir le même cardinal que l'ensemble d'arrivé ?

[chombier]

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour un exercice, du moins c'est plutôt un point de cours qui fait défaut.

Si un entier, on note U_n le sous-groupe de x constitué par les racines n-ièmes de l'unité.
1) Montrer que si sont deux entiers tels que , alors les groupes x et ne sont pas isomorphes.

Pour prouver que c'est pas un isomorphisme, peut-on simplement montrer que x ne possède pas d'éléments d'ordres mn ?
Mais je sais pas comment partir, genre je voulais dire qu'on prends un couple x , d'ordres respectifs m et n, mais ensuite je vois pas comment arriver à dire qu'au final arrivé à une absurdité...

2) On suppose que sont deux entiers tels que . Montrer que l'application x définie par est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau (Indication : penser à Bézout) et en déduire que x et sont isomorphes.

J'ai prouver le morphisme de groupe, mais après je vois pas pourquoi on a cette indication pour montrer le contenu du noyau, car si f est injectif, ce qui est pas compliqué, à moins que je me trompe, je sais directement que le noyau c'est

Du coup à partir de là, comment montrer que c'est un isomorphisme, il faudrait que je prouve que f est une bijection... Est-ce que le noyau réduit à l'élément neutre permet de conclure, si oui je vois pas pourquoi en fait.

J'ai une idée : soit d le pgcd de m et n, p=mn/d leur ppcm, m'=m/d et n'=n/d

Si (a,b) est dans U_n x U_m, (a,b)^p = (a^p, b^p) = ((a^n)^m', (b^m)^n')=(e^m', e^n')=(e,e)

Si f est un isomorphisme de U_n x U_m dans U_mn, pour tout (a,b) de U_n x U_m, f((a,b)^p) = (f(a,b))^p). Donc (f(a,b))^p = f(e,e) = e'.

Donc tout élément de U_mn élevé à la puissance p doit être égal à l'élément neutre de U_mn.

Il n'existerait alors dans U_mn aucun élément d'ordre strictement supérieur à p.

Donc l'ordre de U_mn serait inférieur ou égal à p. Or p<mn, contradiction.

[Ben314]

Dans l'immédiat, comme on a l'habitude depuis quelques exercices à se servir du cardinal d'un ensemble pour prouver si c'est bijectif ou pas, vu que je dois trouver que c'est un isomorphisme, alors l'ensemble de départ doit avoir le même cardinal que l'ensemble d'arrivé ?

Oui, sauf que c'est formulé de travers : c'est la réciproque de ce que tu raconte dont tu as besoin ici, à savoir que, si f est une injection entre deux ensembles finis de même cardinal alors f est bijective. (i.e. "f bijective", ça doit être la conclusion de ton raisonnement et pas l'hypothèse)

Tu as jamais suivi de cours de logique ?

[Ncdk]

Oui, sauf que c'est formulé de travers : c'est la réciproque de ce que tu raconte dont tu as besoin ici, à savoir que, si f est une injection entre deux ensembles finis de même cardinal alors f est bijective. (i.e. "f bijective", ça doit être la conclusion de ton raisonnement et pas l'hypothèse)

Tu as jamais suivi de cours de logique ?

Le problème est qu'on a jamais eu des cours de logique dans mon cursus universitaire, donc en gros les raisonnements par l'absurde, contraposée, par exemple, je l'ai ait appris sur le tas, quand le prof l'utilisé...
Mais je vois dans beaucoup voir même tous les livres de prépas, il y a une partie "Rudiment logique" une ça doit être ça le cours de logique, et bien ça, je l'ai pas eu, c'est au fur et à mesure de la licence qu'on note les différents rudiments de logiques qu'on rencontre et à force ça rentre.

Après je vois ce que tu veux dire, mais je me projeté en fait en avant pour savoir ou je devais aboutir, du coup après je repars au début et je formalise mieux, donc je serai bel et bien partit en disant que le Ker(f)={e} donc ça c'est à prouver au préalable. Ensuite ça implique que f est injective, du coup maintenant je m'intéresse au cardinal de chaque ensemble, j'en déduis quelque chose et finalement ma conclusion sera que f est bijective.
Mais parfois je vois que certains profs nous disent, regarder bien les questions, ça donne parfois des éléments de réponse plutôt rapide, du coup de tête ça vous permet de voir quoi utiliser, sur quoi ça vous amène et il est possible de temps en temps d'arriver à une conclusion sans avoir encore mit "la main dans le cambouis".

[Ben314]

Concernant la logique, c'était une "vrai question" et pas une façon indirecte de dire que "tu devrais savoir le faire".

Dans a peu prés toute les fac (et évidement sur le programme des prépa.) se pose (ou c'est posé) la question de savoir si on devait faire un (mini)cours spécifique de logique ou si ça devait être englobé dans l'ensemble des cours.

La question étant "pédagogique" et pas "mathématique", les réponses sont diverses.
A l'heure actuelle, on va de plus en plus vers du "pas de cours spécifique".
Perso., j'ai (comme d'hab...) pas trop d'opinion : faire un "cours spécifique", ça permet peut-être de bien montrer que c'est archi. super important, mais d'un autre coté, j'ai souvent enseigné ce "cours spécifique" et ça passe souvent extrêmement mal vu que beaucoup d'étudiant raisonnent hélas comme dans des tas d'autres domaines en pensant que c'est juste une série de formules à apprendre par cœur alors que là, encore plus qu'ailleurs, ce n'est clairement pas ça qu'il faut en retenir.