Un peu d'arithmétique

[Zavonen]

Bonjour à tous,
Je cherche une démonstration du résultat suivant:
k désignant un entier >1, il existe un entier N tel que
n>N implique nk^n< (k+1)^n
Mais voilà il y a une contrainte. Je ne veux utiliser aucun résultat d'analyse dans cette preuve. Pas de log, pas d'exponentielle, pas de racines n-ièmes, pas de limites.
Uniquement la définition des opérations sur les entiers (produits, puissances, etc...).
Les propriétés de ces opérations et éventuellement la définition et les propriétés des coefficients binomiaux.
J'ai déjà trouvé quelque chose mais c'est très lourd, très compliqué je suis sûr que je passe à côté de quelque chose de simple.
Si vous avez des idées.
Merci.
NB: On peut utiliser aussi (ça peut servir) n<2^n emprunté à la théorie des ensembles.

[leon1789]

Pour réel, on

Pour tout n > k, il vient

non ?

[leon1789]

Ecrire est peut-être une piste.

[leon1789]

On prend et .
On écrit
Pour n assez grand (*), le trinôme est positif.


(*) EDIT : par exemple, on peut prendre tous les entiers

[Zavonen]

Ça semble coller. Merci beaucoup.