Petite vérification sur les polynômes (mpsi)

[Anonyme]

Bonjour,

je débute un peu avec ce chapitre. Les polynomes sont étudiés dans K[X],
avec K = R ou K = C.

Je vois comme exo : montrer que P(X)-X divise P(P(X))-X.

Est ce suffisant de dire : si K = C, toute racine de P(X)-X est racine
de P(P(X))-X, et comme P(X)-X est scindé le polynome reste a trop de
racines cqfd.

Si K = R, on se place dans C[X], on fait le même raisonnement puis on
précise que le dividende de P(P(X))-X par P(X)-X est dans R[X].

Ca me parait bon mais la solution que je trouve est différente et plus
longue. Qu'en est il ?


--
albert

[Anonyme]

> je débute un peu avec ce chapitre. Les polynomes sont étudiés dans K[X],
> avec K = R ou K = C.
>
> Je vois comme exo : montrer que P(X)-X divise P(P(X))-X.
>
> Est ce suffisant de dire : si K = C, toute racine de P(X)-X est racine de
> P(P(X))-X, et comme P(X)-X est scindé le polynome reste a trop de racines
> cqfd.

Il faut faire attention aux racines multiples...

--
Mû

[Anonyme]

µ a écrit:[color=green]
>>je débute un peu avec ce chapitre. Les polynomes sont étudiés dans K[X],
>>avec K = R ou K = C.
>>
>>Je vois comme exo : montrer que P(X)-X divise P(P(X))-X.
>>
>>Est ce suffisant de dire : si K = C, toute racine de P(X)-X est racine de
>>P(P(X))-X, et comme P(X)-X est scindé le polynome reste a trop de racines
>>cqfd.
>
>
> Il faut faire attention aux racines multiples...
>[/color]

Ah oui. Mais ici ce n'est pas grave car si alpha est racine de P'(X)-1,
il est racine de P'(X)*P(P'(X))-1, et s'il est racine de P(n)(X), il est
racine de (P(P(X)-X)(n). C'est juste ? Mais ca devient plus long à
démontrer..

Merci pour votre réponse rapide.


--
albert

[Anonyme]

µ wrote:[color=green]
>>je débute un peu avec ce chapitre. Les polynomes sont étudiés dans K[X],
>>avec K = R ou K = C.
>>
>>Je vois comme exo : montrer que P(X)-X divise P(P(X))-X.
>>
>>Est ce suffisant de dire : si K = C, toute racine de P(X)-X est racine de
>>P(P(X))-X, et comme P(X)-X est scindé le polynome reste a trop de racines
>>cqfd.
>
>
> Il faut faire attention aux racines multiples...[/color]

Oui, si on ne veut pas passer par les racines, on peut faire ceci :

P(P(X)) - X = P(P(X)) - P(X) + P(X) - X

Puis montrer que pour tout polynôme Q, P(X) - X | Q(P(X)) - Q(X) :
vérifier pour les monômes puis généraliser.

(cas particulier de x - y | x^n - y^n)

Hib.

[Anonyme]

Hibernatus a écrit:

> Oui, si on ne veut pas passer par les racines, on peut faire ceci :
>
> P(P(X)) - X = P(P(X)) - P(X) + P(X) - X
>
> Puis montrer que pour tout polynôme Q, P(X) - X | Q(P(X)) - Q(X) :
> vérifier pour les monômes puis généraliser.
>
> (cas particulier de x - y | x^n - y^n)
>
> Hib.


Ok. Merci bien