Petite équation dans un corps fini !

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
Y'a-t-il un moyen de résoudre méthodiquement l'équation : dans
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

Commence par calculer ... (pourquoi...)

[barbu23]

! mais, je ne sais pas à quoi sert ce calcul ! :happy3:
ça fait longtemps que je ne fais pas d'arithmetique depuis le terminal ! ça a peut être un lien avec le théoème de fermat ou de wilson , je ne me souviens de rien ! :happy3:
Merci de m'aider Ben314 ! :happy3:

[Doraki]

Moi je pense que comme F7 est inclus dans R, il faudrait regarder les racines de X²-2 dans R pour voir si avec ça on peut trouver les racines de X²-2 dans F7 ! :)

[barbu23]

Le théorème de Fermat dit que
Donc :
Donc :

Après, qu'est ce qu'on fait ? :happy3:

[barbu23]

Moi je pense que comme F7 est inclus dans R, il faudrait regarder les racines de X²-2 dans R pour voir si avec ça on peut trouver les racines de X²-2 dans F7 !

Trop drole ! :happy3:

[Doraki]

Le théorème de Fermat dit que
Donc :
Donc :

Je comprends pas en quoi le donc 9=2 [7] est une déduction de la ligne précédente.

[barbu23]

Non : ! :happy3:
Mais, ça ne repond pas à la question ! :happy3:

[Ben314]

Ca répond "un peu" à la question (c'est le début de la théorie sur les résiduts quadratique) :
Si a est un carré modulop alors a=b² et modulo p.
En comptant le nombre de carré modulo p et le nombre de solutions de cette équation, on montre qu'il y a en fait équivalence, c'est à dire que :
a est un carré modulop si et seulement si modulo p.

Ici, tu as bien modulo 7 et cela prouve que 2 est un carré modulo 7.

La théorie des la théorie sur les résiduts quadratique donne un algorithme trés rapide pour déterminer si un nombre a est ou n'est pas un carré modulo p (y compris pour de trés grande valeurs de a et p).

Par contre, je ne connais pas, (sauf cas particulier et je pense que a=2 EST un cas particulier) de méthode pour déterminer qui sont les racines de a...

[Doraki]

http://en.wikipedia.org/wiki/Tonelli;)Shanks_algorithm

[barbu23]

Merci pour ces précisions ! :happy3:
Et pour une équation de type, par exemple : dans l'anneau qui n'est pas un corps : ! Est ce qu'il y'a un moyen de trouver méthodiquement ses racines ?
Merci d'avance ! :happy3:
P.S : je vais essayer de lire ce que vous me postez là attentivement ! Merci pour vos reponses ! :happy3:

[Ben314]

[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Tonelli–Shanks_algorithm[/url]

Je connaissait pas... Il faudrait que je m'en souvienne...