Petite domination (exponentielle complexe)

[Mysterion]

Salut,

1. Voyez-vous comment on obtient la domination suivante :



pour tout réel et .

2. Voyez-vous aussi comment le membre à gauche tend vers quand tend vers 0 ?

[XENSECP]

Pour le deuxième je vois bien puisque c'est le taux d'accroissement donc ça tend vers la dérivée (en a) de l'expression appliqué en a = 0 :)

[Mysterion]

Pour le deuxième je vois bien puisque c'est le taux d'accroissement donc ça tend vers la dérivée (en a) de l'expression appliqué en a = 0

A oui, c'est bien la limite du taux d'accroissement.

Mais alors pour la première question, quelqu'un serait ?

[mrif]

A oui, c'est bien la limite du taux d'accroissement.

Mais alors pour la première question, quelqu'un serait ?

Dans le 1er membre tu mets en facteur

[adrien69]

quelqu'un serait ?

*saurait

À vue de nez c'est l'inégalité des accroissements finis appliqués entre 0 et x.

Le fait est que le esp(itx) est de module 1, alors tu le dégages directement.

Mais en fait je trouve x dans la partie droite. Pas 2x...

[Mysterion]

Dans le 1er membre tu mets en facteur

SAURAIT !! ah la faute.

Enfin bref, merci. C'est la petite pièce qui me manquait. Par contre je trouve a|x| dans la partie de droite. (j'ai d'ailleurs oublié de mentionner que a>0)

[adrien69]

Accroissements finis... Accroissements finis...

[mrif]

SAURAIT !! ah la faute.

Enfin bref, merci. C'est la petite pièce qui me manquait. Par contre je trouve a|x| dans la partie de droite. (j'ai d'ailleurs oublié de mentionner que a>0)

En mettant en facteur e^(iax/2), le premier membre sera égal à 2|(sin(ax))/a|
L'inégalité n'a de sens que si x est positif. Or pour x positif sin(x) est toujours inférieur à x donc sin(ax) < ax, puisque ax est positif. D'où 2(sin(ax))/a < 2x

Remarque: l'inégalité reste vraie pour tout x dans R, si on remplace dans le second membre 2x par 2|x|

[Mysterion]

En mettant en facteur e^(iax/2), le premier membre sera égal à 2|(sin(ax))/a|
L'inégalité n'a de sens que si x est positif. Or pour x positif sin(x) est toujours inférieur à x donc sin(ax) < ax, puisque ax est positif. D'où 2(sin(ax))/a < 2x

Remarque: l'inégalité reste vraie pour tout x dans R, si on remplace dans le second membre 2x par 2|x|

ok, merci pour l'explication détaillée.

[adrien69]

Ou sinon accroissements finis...........
Merde quoi c'est plus simple !

Si f(x)=(exp(iax)-1)/a
f(0)=0 et |f'(x)|=1
Et comme le module de ton truc vaut |f(x)-f(0)| ben il est inférieur à |x|…
C'est plus simple et mieux. Mais vous allez encore m'ignorer.

[mrif]

Ou sinon accroissements finis...........
Merde quoi c'est plus simple !

Si f(x)=(exp(iax)-1)/a
f(0)=0 et |f'(x)|=1
Et comme le module de ton truc vaut |f(x)-f(0)| ben il est inférieur à |x|…
C'est plus simple et mieux. Mais vous allez encore m'ignorer.

Ta solution suppose qu'on sait appliquer le théorème des accroissements finis à une fonction vectorielle; elle aboutit à un résultat plus fin puisqu'on arrive à majorer par |x| au lieu de de 2|x|.

Mais, vu la majoration demandée, je pense que l'esprit de l'exercice n'est pas de ce niveau et je suppose que c'est pour cette raison que Mysterion ne comprend pas ta solution. Cependant, si on fait abstraction du niveau, ta méthode est de loin plus simple, rapide et élégante.

[adrien69]

Au vu de sa question il travaille sur des intégrales paramétrées et voulait montrer la continuité à l'aide des théorèmes de domination (du moins c'est ce qui transpire de la forme de sa fonction). J'en déduis qu'il est (en fin) de L2 ou de MP et qu'il a donc vu ça en cours il y a déjà un bout de temps. En plus je pense que l'inégalité des AC est faite dans le cas d'une fonction vectorielle dès la Sup.
Après vérification dans le bouquin MPSI de Cap Prépa (Pearson), c'est fait pour une fonction de l'axe réel vers les complexes.
Enfin bref, on s'en fout. Il n'a sans doute pas besoin d'un truc fin.