youmew a écrit:Salut
Voila je bloque sur un théorème dans mon cour qui stipule que : si deux matrices sont semblables alors une de ces matrices est égale a la matrice de l'endomorphisme canoniquement associé a l'autre matrice dans une autre base ... ou encore :
b , une base, tel que
)
ou Fa est l'endomorphise cannoniquement associé a A. (P est supposé inversible aussi)
Bon, sa semble assez évident, et on fait vite le rapprochement avec les matrices de changement de base . Mais j'arrive vraiment pas a le démontrer de façon rigoureuse ...
merci de votre aide
Pour le démontrer :
On considère que A est la base de l'endomorphisme u de R^n dans la base canonique b1=(e1,...en) :
pour tout indice j, u(ej)=somme des Bij*ei.
P étant une matrice inversible, c'est une matrice de changement de base de la base canonique à une base b2=(f1,...,fn) : pour tout vecteur v de coordonnées X dans b1 et X' dans b2, X=PX'. On note B' la matrice de u dans cette base.
Ces notations étant posées, AX et B'X' sont les matrices de u(v) dans b1 et b2, et on a :
AX=PB'X' d'une part, et X=B'X' d'autre part, donc :
APX'=PB'X', et ce pour tout vecteur X' donc AP=PB'. On en déduit B'=B. Donc B est la matrice de u dans une autre base.
