Petite amusette topologique

[girdav]

Bonjour,
pour célébrer la réouverture du forum, voici un "petit" exercice de topologie.

Soit S un ensemble non vide muni d'une topologie qui le rende compact et d'une loi interne, associative et telle que pour tout , l'application définie par est continue.

Montrer qu'il existe tel que .

[Finrod]

Il y a un truc qui et ouvert et fermé.

Joli, en tous cas et gentil quand on a la solution (enfin si j'ai juste)

[girdav]

Dans la solution que j'ai, il n'y a pas de "clopen". Mais ceci ne prouve en rien que ce que tu as fait ne marche pas. Peux-tu donner quelques détails?

[Finrod]

hé bien, je pensais que était ouvert en tant qu'image réciproque d'un ouvert par une application continue.

Et après j'ai eu un bug. Je pensais qu'on pouvait le voir comme image d'un compact par une application continue, il aurait alors été fermé. Mais en fait j'ai montré ça pour , puis pour qui est un ensemble bien distinct, j'étais à l'ouest.

Du coup, je continue de chercher. Je me doute bien qu'il doit falloir utiliser la compacité qq part ou un thm du point fixe mais c'est pas mon dada.


EDIT : décidément je suis branché dyslexie ce soir. C'est "fermé" à la première ligne et non ouvert, bien entendu.

EDIT2: De toute façon les clopen ne servent à rien sans connexité (mais c'est dingue ce qu'on rouille vite)

[girdav]

On peut essayer de montrer le résultat quand est un ensemble fini. Ça permet de voir plus facilement une notion clef.

[ffpower]

J'ai une solution, mais elle utilise Zorn, on peut p-e mieux faire. Je met la premiere ligne de ma démo en blanc
(Soit K un sous compact non vide de S stable par * et minimal pour cette propriété..)
Si la topologie est métrisable par contre j'arrive a me passer de Zorn.

[girdav]

J'utilise Zorn aussi. Je n'ai pas encore réfléchi au cas où la topologie est métrisable.

[Finrod]

Décidément, je ne vois pas.

Si S comporte deux éléments, ça marche avec l'associativité.

Vous pensez qu'on pourrait introduire des filtres et des ultrafiltres (puisque ce n'est pas métrisable) ?

edit: Ok, avec l'asociativité et la minimalité du K de ffpower, j'ai l'existence d'un x de K tel que .

[girdav]

Pour penser aux parties stables, j'avais d'abord traité le cas où est fini. Ensuite, on se dit que dans le cas général, les fermés des compacts ont le bon goût d'être compact et le lemme de Zorn vient à notre secours.