Petite amusette de proba...

[Ben314]

Inspirée du "problème du mois" (octobre 2001) de l'Université Régina :

Il en coûte un euro pour assister au petit spectacle donné par les enfants ce dimanche après-midi. Or, le parent d'élève faisant office de caissier n'a pas de caisse ni de porte monnaie :hein: donc ne va pouvoir rendre la monaie qu'avec ce qu'on lui a donné précédement.
Un grand nombre de personnes (N) font la queue dont une certaine proportion (lambda) possédent une (unique) pièce de un euro. Les autres n'ont que des pièces de deux euros.
Quelle est la probabilité que le caissier puisse remettre la monnaie à chacun (sans changer l'ordre des personnes de la file d'attente) ?

Question subsidiaire : Et si au départ le caissier a K piéces de un euro ?

P.S. je n'ai pas cherché la question subsidiaire...

[geegee]

Bonjour,

Je fais un essai:

[Ben314]

ça me parrait bien compliqué...
En fait, en ce qui me concerne, je l'ai fait avec du "bête dénombrement" sauf que le truc à dénombrer, il me semble que je l'avais jamais rencontré et ça m'a un peu surpris quand j'ai vu que ça se simplifiait vachement...

P.S. En (re)réfléchissant, il me semble bien qu'en fait c'est connu (le principe de...)

[geegee]

peut on considérer que nous avons un tirage avec remise et avec ordre ou il faut tirer N fois plus de 1 euro que de 2 euros.

[geegee]

Re

N factorielle

[Ben314]

peut on considérer que nous avons un tirage avec remise et avec ordre ou il faut tirer N fois plus de 1 euro que de 2 euros.

Tu as une drole de façon de faire la queue : perso, une fois que j'ai mon billet pour rentrer je retourne pas dans la queue...

[Sve@r]

Un grand nombre de personnes (N) font la queue dont une certaine proportion (lambda) possédent une (unique) pièce de un euro. Les autres n'ont que des pièces de deux euros.
Quelle est la probabilité que le caissier puisse remettre la monnaie à chacun (sans changer l'ordre des personnes de la file d'attente) ?

Amusant. Mais avant de commencer des calculs, on peut réfléchir aux possibilités offertes par l'énoncé. Déjà, si lambda < N/2, quel que soit l'ordre des personnes, le caissier ne pourra pas rendre la monnaie à tout le monde.
Et si le caissier possède K pièces d'avance, alors le problème reste impossible si lambda < (N - K) /2...

Tu as une drole de façon de faire la queue : perso, une fois que j'ai mon billet pour rentrer je retourne pas dans la queue...

geegee ne dit pas que tu reviens dans la queue mais que c'est ta pièce qui, en admettant que t'aies payé avec 1€, revient alimenter la qté des pièces disponibles...

[Ben314]

Amusant. Mais avant de commencer des calculs, on peut réfléchir aux possibilités offertes par l'énoncé. Déjà, si lambda < N/2, quel que soit l'ordre des personnes, le caissier ne pourra pas rendre la monnaie à tout le monde.
Et si le caissier possède K pièces d'avance, alors le problème reste impossible si lambda < (N - K) /2...

Tout à fait...(modulo que pour moi Lambda était plutôt une proportion donc que j'aurais plutôt écrit "si lambda<1/2..." mais ça ne change pas le problème...)

[geegee]

[Sve@r]

Tout à fait...(modulo que pour moi Lambda était plutôt une proportion donc que j'aurais plutôt écrit "si lambda<1/2..." mais ça ne change pas le problème...)

Bon. Allons-y pour le brainstorm...
Admettons que nous ayons P personne qui ont la pièce qui va bien (P=lambda * N :id:).
La première personne se présente. Nous avons une proba de P/N que ce soit une personne avec la pièce qui va bien.
La seconde personne arrive. A ce niveau là, pour que ce soit toujours faisable, on est obligé de considérer que la première personne avait une pièce de 1€. Donc le caissier peut lui rendre la monnaie.
La troisième personne arrive. On va distinguer 2 cas (quoique je ne sois pas certain que ce soit obligatoire)
- cas 1: la seconde personne n'avait pas de pièce. Alors nous avons une proba de (P - 1) / (N - 2) que cette 3° personne ait une pièce
- cas 2: la seconde personne avait une pièce. Alors nous avons une proba de (P - 2) / (N - 2) que cette 3° personne ait une pièce mais quoi qu'il arrive, on pourra quand-même lui rendre la monnaie.

Donc je tente
Ce qui peut se réduire en

[Ben314]

Bon, déjà, ton truc se simplifie mais j'ai quand même des doutes (à moins que ce ne soit moi qui me suis goourré).
Perso, j'obtient une formule trés simple pour la proba en question (qui tend lorsque n tend vers l'infini vers )

Et je le (re)dit : j'y suis allé "bourrin" en évaluant le nombre N(n,p) de parties A de {1..n} de cardinal p telles que :


P.S. et, effectivement, plutôt que de ce lancer dans une récurrence dont il faut tout d'abbord intuiter le résultat on peu utiliser le principe de ... (chose que je n'avais pas vu au départ... :stupid_in )

[Ben314]

Il me semble bien que, lorsque N=4 et P=2, ben on doit pas trouver 0...
(le résultat est... encore plus simple que ça !!!)

[geegee]

[Ben314]

S'il y a N=15 personnes dans la file d'attente et que P=9 d'entres elles ont une une pièce de 1 euro (les personnes N°1,3,4,5,7,8,12,14,15), voilà la représentation de l'évolution du nombre de pièces de 1 euro dans la caisse :

En gardant les mêmes nombres mais en modifiant l'ordre dans la file d'attente, il y a clairement (coefficient binomial) graphiques (théoriques) possibles.
Mais combien y-en-a t'il de "cohérents", c'est à dire qui ne prennent jamais de valeurs négative ?

Indic : Compter plutôt le complémentaire,c'est à dire le nombre de courbes qui prennent au moins une fois la valeur -1 et utiliser une symétrie...

[geegee]

Un essai:

[geegee]

[Doraki]

Faut interpréter la proportion lambda comment ?

Y'a ceux qui disent qu'on sait qu'il y a exactement P personnes avec 1 € et (N-P) personnes avec 2€, avec N grand et P/N qui tend vers lambda.
(auquel cas la probabilité de pas avoir de problème a une expression très simple au final)

Et y'a ceux qui disent que chaque personne est un événement aléatoire indépendant des autres qui a 1€ avec probabilité lambda (auquel cas faudrait que je regarde le calcul, et je suis pas sur que ça se simplifie bien)

Bon j'imagine qu'en faisant tendre N vers l'infini ça donne la même chose dans les deux interprétations.

[Ben314]

Faut interpréter la proportion lambda comment ?

Y'a ceux qui disent qu'on sait qu'il y a exactement P personnes avec 1 € et (N-P) personnes avec 2€, avec N grand et P/N qui tend vers lambda.
(auquel cas la probabilité de pas avoir de problème a une expression très simple au final)

Et y'a ceux qui disent que chaque personne est un événement aléatoire indépendant des autres qui a 1€ avec probabilité lambda (auquel cas faudrait que je regarde le calcul, et je suis pas sur que ça se simplifie bien)

Bon j'imagine qu'en faisant tendre N vers l'infini ça donne la même chose dans les deux interprétations.

Perso, j'était franchement parti sur la première interprétation (le lambda de l'énoncé n'était là que pour signaler que, à mon sens, le truc interessant à calculer était la limite de la proba lorsque N->oo avec P=lambda.N où lambda est fixé)

Je n'ai pas regardé la deuxième interprétation (je vais le faire). Par contre, j'ai regardé ce qu'il se passe si, au départ, la caisse contient un stock de D pièces de 1 Euro.

Edit : En fait, j'avais absolument pas pensé à la deuxième interprétation qui (il me semble) explique le "tirage avec remise" de geegee et explique (peut-être...) les formules bizaroïdes qu'ils (geegee et Near) trouvent...
Faut dire que dans l'énoncé original, on avait "8 personnes dans la queue dont 4 ont une pièce de 1 euro" ce qui ne prétait absolument pas à confusion contrairement à mon énoncé...

[Ben314]

Bon, pour la "deuxième interprétation", je part là dessus :
Pour la variable aléatoire réelle donnant le nombre de pièce de 1 euro dans la caisse aprés le passage de personnes :
où est le nombre de pièce de 1 Euro dans la caisse au début ( dans l'énoncé 'originel') et sont des variables aléatoires réelles indépendantes prenant les valeur +1 et -1 avec des proba et (connu).
Le but est de calculer la proba de et éventuellement sa limite lorsque tend vers l'infini.

(en fait, ça me parrait "super standard" comme exo...)

Edit : ben en fait, c'est "assez" standard lorsque , mais sinon....

[Sve@r]

Faut dire que dans l'énoncé original, on avait "8 personnes dans la queue dont 4 ont une pièce de 1 euro" ce qui ne prétait absolument pas à confusion contrairement à mon énoncé...

Ben oui mais si, sur les 4 personnes qui ont une pièce, il y en a 3 qui sont placées à la fin de la file, ben le caissier ne pourra quand-même pas rendre la monnaie.

les formules bizaroïdes qu'ils (geegee et Near) trouvent...

Bon j'y croyais pas vraiment. Surtout avec ton exemple de 4 sur 8 qui donne, avec ma formule, 0 à la fin...