Petit théorème de Fermat

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Ncdk
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Petit théorème de Fermat

par Ncdk » 03 Mai 2018, 11:46

Soit p un nombre premier et 1⩽a⩽p. Alors p divise a^(p-1)-1.

Preuve : Tout d'abord, 1⩽a⩽p-1. En particulier, PGCD(a,p)=1.
Pour k∈{1,…,p-1}, notons r_k le reste dans la division euclidienne de k a par p. On a le résultat suivant : k a=q_kp+r_k, 0<r_k<p-1.
——
Lemme 1 : Pour tout k∈{1,…,p-1}, on a r_k≠0.
En effet, si r_k=0, alors p|k a​. Mais comme PGCD(p,a)=1, on a par le Théorème de Gauss que p|k​. Ce qui est absurde puisque k∈{1,…,p-1}.
Lemme 2 : Pour tous, k,l∈{1,…,p-1} avec k≠l, on a r_k≠r_l.
En effet, si r_k=r_l, alors k a=q_kp+r_k, 0⩽r_k⩽p-1 et l a=q_lp+r_l, 0⩽r_l⩽p-1. On fait la différence et on obtient que (k-l)a=(q_k-q_l)p.
Autrement dit, p|(k-l)a​. Or PGCD(p,a)=1. Donc, pas le Théorème de Gauss, p|k-l​, c'est-à-dire que k=l+m p avec un entier m. Comme k,l∈{1,…,p-1}, donc en particulier |k-l|⩽p-1, donc on a que m=0. D'où k=l.
——
Effectuons le produit a×2a×…×(p-1)a=r_1×r_2×…×r_(p-1)[p].
Or, les entiers r_1,r_2,…,r_(p-1) sont des éléments de 1,…,p-1. De plus, par le Lemme 2, ils sont tous différents. Ainsi, ils sont à l'ordre près, les entiers 1,2,…,p-1.
a×2a×…×(p-1)a=1×2×…×(p-1)[p]
Ceci se simplifie en : (p-1)!a^(p-1)=(p-1)![p].
On a donc que p|(p-1)!a^(p-1)-(p-1)!​ ou encore p|(p-1)!(a^(p-1)-1)​. Or PGCD(p,(p-1)!)=1. Par le Théorème de Gauss, p|a^(p-1)-1​.

J'avais trouvé ce genre de preuve, sauf erreur, pour le petit théorème de Fermat. Mais je comprends pas, sur certains sites le petit théorème de Fermat est pas le même. Un coup on suppose des choses sur "a" un coup c'est un entier quelconque. Je peux adapter cette preuve à un entier a quelconque ?



Elias
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Re: Petit théorème de Fermat

par Elias » 03 Mai 2018, 12:20

Salut,

Ncdk a écrit:Soit p un nombre premier et 1⩽a⩽p. Alors p divise a^(p-1)-1.


Ici, il y a une petite erreur déjà. La condition est plutôt 1⩽a <p.
Si a=p, le conclusion est fausse: par exemple avec p=3 et a =3, on a a^{p-1}-1 = 8 qui n'est pas divisible par 3.


Ensuite, il y a deux versions du petit théorème de Fermat qui sont équivalentes.
Celle que tu donnes n'est pas assez générale et pour généraliser un peu plus, tu donnes la réponse à la première ligne de la preuve: il faut supposer que pgcd(a,p)=1, ce qui revient à dire que n'est pas divisible par p (puisque p est premier).

Donc l'énoncé (que je vais appeler (E)) serait :
Soit un nombre premier et un entier non divisible par .
Alors est divisible par .

Si on réfléchit plutôt en terme de groupe, ça provient directement du théorème de Lagrange.
Lorsque p est premier, le groupe multiplicatif (Z/pZ)* contient p-1 élément et l'ordre de n'importe quel élément ()non nul est un diviseur de p-1.

J'avais trouvé ce genre de preuve, sauf erreur, pour le petit théorème de Fermat. Mais je comprends pas, sur certains sites le petit théorème de Fermat est pas le même. Un coup on suppose des choses sur "a" un coup c'est un entier quelconque. Je peux adapter cette preuve à un entier a quelconque ?



Du coup, l'autre version de ce théorème (que je vais appeler (E')) est la suivante :
Soit un nombre premier et un entier (quelconque).
Alors est divisible par .


Perso, une fois que l'énoncé (E) est démontré, on peut essayer de montrer que (E) et (E') sont équivalents (ça démontrera alors (E')).

On suppose (E) vrai. On veut montrer (E').
On prend un entier a quelconque.

Si pgcd(a,p) = 1, alors d'après (E), et donc en multipliant par , on obtient (E').

Si a est divisible par p, alors a^p et a sont tous deux congrus à 0 modulo p donc sont congrus entre eux modulo p.
D'où (E').


Si maintenant on suppose (E') vrai et qu'on veut montrer (E).

On prend a un entier tel que pgcd(a,p) = 1.
Comme (E') est vrai, on a donc donc p divise mais p et a étant premier entre eux, il vient (théorème de Gauss)
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

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Ncdk
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Re: Petit théorème de Fermat

par Ncdk » 03 Mai 2018, 12:35

Bonjour,

Merci pour ces précisions, c'est bon j'ai compris le lien. :D

 

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