Soit p un nombre premier et 1⩽a⩽p. Alors p divise a^(p-1)-1.
Preuve : Tout d'abord, 1⩽a⩽p-1. En particulier, PGCD(a,p)=1.
Pour k∈{1,…,p-1}, notons r_k le reste dans la division euclidienne de k a par p. On a le résultat suivant : k a=q_kp+r_k, 0<r_k<p-1.
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Lemme 1 : Pour tout k∈{1,…,p-1}, on a r_k≠0.
En effet, si r_k=0, alors p|k a. Mais comme PGCD(p,a)=1, on a par le Théorème de Gauss que p|k. Ce qui est absurde puisque k∈{1,…,p-1}.
Lemme 2 : Pour tous, k,l∈{1,…,p-1} avec k≠l, on a r_k≠r_l.
En effet, si r_k=r_l, alors k a=q_kp+r_k, 0⩽r_k⩽p-1 et l a=q_lp+r_l, 0⩽r_l⩽p-1. On fait la différence et on obtient que (k-l)a=(q_k-q_l)p.
Autrement dit, p|(k-l)a. Or PGCD(p,a)=1. Donc, pas le Théorème de Gauss, p|k-l, c'est-à-dire que k=l+m p avec un entier m. Comme k,l∈{1,…,p-1}, donc en particulier |k-l|⩽p-1, donc on a que m=0. D'où k=l.
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Effectuons le produit a×2a×…×(p-1)a=r_1×r_2×…×r_(p-1)[p].
Or, les entiers r_1,r_2,…,r_(p-1) sont des éléments de 1,…,p-1. De plus, par le Lemme 2, ils sont tous différents. Ainsi, ils sont à l'ordre près, les entiers 1,2,…,p-1.
a×2a×…×(p-1)a=1×2×…×(p-1)[p]
Ceci se simplifie en : (p-1)!a^(p-1)=(p-1)![p].
On a donc que p|(p-1)!a^(p-1)-(p-1)! ou encore p|(p-1)!(a^(p-1)-1). Or PGCD(p,(p-1)!)=1. Par le Théorème de Gauss, p|a^(p-1)-1.
J'avais trouvé ce genre de preuve, sauf erreur, pour le petit théorème de Fermat. Mais je comprends pas, sur certains sites le petit théorème de Fermat est pas le même. Un coup on suppose des choses sur "a" un coup c'est un entier quelconque. Je peux adapter cette preuve à un entier a quelconque ?