Petit o et grand o

[Malicia]

Bonjour, je bloque sur un exercice que je pense tout simple :

1) pour une suite un donnée, montrer que les ensembles de suites o(un) et O(un) sont des espaces vectoriels pour les opérations usuelles sur les suites.

Un espace vectoriel est un espace stable pour la multiplication et l'addition, il faut donc que je montre que :

- si vn=o(un) et wn=o(un) alors vn + wn = o(un)
- si vn = o(un) et wn = o(an) alors vn * wn = o(un * an )
- si vn = o(un) alors lambda vn = o (un)

et de même pour O.

Le probleme est que je ne vois pas comment m'y prendre.
Dois je utiliser la definition avec les epsilon ?

Merci

[Nightmare]

Salut,

oui tu n'as de toute façon pas le choix d'utiliser la définition avec epsilon, sauf si on t'en a donné une autre.

Qu'est-ce que cela donne?

[Malicia]

Alors avec cette definition on a :


vn=o(un) si pour tout epsilon > 0, il existe eta dans N, pour tout n > eta , |vn| < epsilon |un|
wn=o(un) |wn| < epsilon |un|

et je veux montrer que vn + wn = o(un)

Je somme les deux inégalités, ce qui me donne :

soit epsilon > 0 :

| vn| + |wn| < 2 epsilon | un |

or inégalité triangulaire | vn + wn | < | vn| + |wn| < 2 epsilon | un |

mais ce 2 me gène que puis je en faire ???

Merci

[Nightmare]

Comment montrerais-tu par exemple qu'il existe un rang n à partir du quel |vn+wn| < 12|un| ?

[Malicia]

Comment montrerais-tu par exemple qu'il existe un rang n à partir du quel |vn+wn| < 12|un| ?

Est ce que je peux prendre n = 2 du coup à partir du rang 2 non ??