Petit exo sur les dimensions

[Herz]

Bonjour à tous !
Soit f un endormophisme de R^4
1/ Montrer que Kerf C Kerfof

Prenons u € Kerf :

f(u)=0
f(f(u))=f(0)
(fof)(u)=0

donc u€ Kerfof
donc Kerf C Kerfof

2/ On suppose rg(fof)=2 . Quelle est la dimension de Ker(fof) ? Prouver rg(f)=2 ou 3 .

Rg(fof)= Im(fof) = 2
D'après le théorème du rang : Dim R^4= dim Imfof +Dim kerfof

4= 2+ Dim kerfof
Kerfof = 2 .

La ou je bute c'est prouver rg(f) = 2 ou 3,

J'ai fais Kerf C Kerfof donc kerf est un s.e.v de Kerfof et dim Kerf < dim Kerfof

et après j'hésite à continuer, est ce que j'ai fais une faute ?

[yos]

Pas de faute mais pas abouti non plus.
Tu as Imfof inclus dans Imf donc le rang de f est au moins 2. Ce ne peut pas être 4 sinon f et aussi fof seraient bijectives.

[mln]

Bonjour
Ker fof = {x \in R^4, f(f(x))=0}
Ker fof C {y \in Im f, f(y)=0}
Ker fof C Im f
donc dim ker fof <=rg f

Donc 2<=rg f<4 (avec le résultat de Yos)

[Herz]

Merci ! :)