PETIT Exercice SUITES [ Besoin aide ]
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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mathelot
par mathelot » 12 Oct 2022, 18:01
bonjour,
on pose
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?X_n = ^t(x_n \qquad y_n))
il vient
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?X_{n+1}=A X_n \forall n \in N)
où A est la matrice 2x2 suivante:
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A=\left( \begin{array} {cc}<br />6 & -3 \cr<br />4 & -1<br />\end{array}<br />\right))
A est diagonalisable de valeurs propres 2 et 3.
il existe donc une matrice de passage P et une matrice diagonale D telle que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A=P^{-1}D P)
On montre par récurrence sur l'entier n que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A^n=P^{-1}D^n P)
ce qui permet de calculer
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_n)
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?y_n)
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Robzz
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par Robzz » 12 Oct 2022, 21:34
mathelot a écrit:bonjour,
on pose
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?X_n = ^t(x_n \qquad y_n))
il vient
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?X_{n+1}=A X_n \forall n \in N)
où A est la matrice 2x2 suivante:
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A=\left( \begin{array} {cc}<br />6 & -3 \cr<br />4 & -1<br />\end{array}<br />\right))
A est diagonalisable de valeurs propres 2 et 3.
il existe donc une matrice de passage P et une matrice diagonale D telle que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A=P^{-1}D P)
On montre par récurrence sur l'entier n que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A^n=P^{-1}D^n P)
ce qui permet de calculer
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_n)
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?y_n)
Merci de ta réponse et de m'avoir accordé du temps mais même avec sa j'ai du mal je suis un peu une brèle en maths j'ai du mal à comprendre les formules
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catamat
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par catamat » 13 Oct 2022, 14:37
Bonjour
Sans utiliser les matrices on peut s'en sortir aussi (ok c'est beaucoup moins élégant...)
A partir de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n})
on exprime les deux membres en fonction de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x_{n})
et de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?y_{n})
puis on égale les coefficients (c'est une condition suffisante) on obtient alors un système qui fournit a et b.
Ensuite on a une suite linéaire récurrente d'ordre deux qui a sans doute été vue en cours...
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