Un petit Defi!!!

[leibniz]

Salut, voici un petit probleme que j'ai trouvé dans mon livre de maths:
Soit f:[0,1] -----> [0,1] une application croissante.
Démontrer qu'il existe x0 de [0,1] tq f(x0)=x0
Merci d'avance

[thomasg]

si f(0)=0 cqfd

Si f(0)>0
supposons qu'un tel x0 n'existe pas
cela implique, comme la fonction est croissante que f(x) reste toujours supérieur à x (facile à voir graphiquement, avec le peu de temps dont je dispose, je n'arrive pas à l'écrire)
donc en particulier f(1)>1, ce qui est impossible.

[Alpha]

Salut,

Voici la façon dont je résoudrais le problème :

Tu considères E={x€[0,1] / f(x)> x }.

C'est une partie de R, et par conséquent, puisque R vérifie la propriété de la borne supérieure, E, majorée par 1, admet une borne supérieure, que l'on note b.

On veut montrer que f(b) = b.

Supposons pour cela que f(b)>b.
Alors comme f est croissante, f(f(b)) >= f(b). Si f(f(b))=f(b), le point cherché est f(b), élément de [0,1].
Si f(f(b))>f(b), alors f(b)€E et f(b)>b, donc b n'est pas la borne supérieure de E, ce qui est une contradiction.

Maintenant supposons f(b)x =< f(x) =< f(b). Donc pour tout x de E, x =< f(b). Par conséquent la borne sup de E est inférieure ou égale à f(b), donc strictement inférieure à b. Donc b n'est pas la borne supérieure. Contradiction.

Par conséquent b est un point de [0,1] tel que f(b) = b, ce qui répond à la question.


;)


Alpha

[leibniz]

Merci beaucoup Alpha :)
Tres belle demonstration, comment t'as pu penser comme ca? Wow ;)

[Alpha]

Merci pour tes compliments, Leibniz,

En fait les idées me sont venues assez naturellement, étant donné qu'intuitivement on voit bien que la borne sup b de cet ensemble est forcément telle que f(b)=b.


;)


Alpha

[leibniz]

cela implique, comme la fonction est croissante que f(x) reste toujours supérieur à x

Je n'arrive pas a comprendre cette partie Merci d'eclaircir un peu!

[Alpha]

Salut, thomasg ne donne pas de démonstration, il ne dit pas pourquoi cela "implique" que f(x) est supérieur à x, il n'en donne pas de justification. En faisant le dessin on voit ce qu'il veut dire, mais ce qu'il dit n'est pas une évidence du point de vue mathématique, et nécessiterait d'être démontré rigoureusement.


;)


Alpha

[Jeet-chris]

Salut.

Un peu compliqué tout ça :eek: .

f:[0;1];)[0;1] fonction continue.
Montrons qu'il existe x€[0;1], tel que f(x)=x.

f(x)=x <=> f(x)-x=0
Soit g(x)=f(x)-x.
On cherche donc à montrer qu'il existe x tel que g(x)=0 sur l'intervalle.

Si x=0, f(0)€[0;1] et g(0);)0.
Si x=1, f(1)€[0;1] et g(1);)0.

0€ [g(1);g(0)] inclus dans g([0;1]).

Donc il existe c€[0;1] tel que g(c)=0.

On conclut...

@+

[leibniz]

Salut,
Excuse moi mais f n'est pas necessairement continue. C'est la ou se manifeste la difficulté de l'exercice.

[Jeet-chris]

A oui tiens c'est exact. Bon ben alors on passe par les bornes :D .

Personnellement, je serais passé par les limites, mais c'est le même raisonnement(si on est dans |R, alors la notion de limite à un sens).

Si f(x);)x;)Ø, c'est terminé.

Pour le cas où f(x)>x, si x tend vers 1, alors f(x)>1. Ce qui est absurde, car f est à valeurs dans [0;1].

Pour le cas où f(x)
J'espère qu'il n'y a pas de problème cette fois-ci ^^.

@+

[thomasg]

Bonjour,

la réponse précédente ne me semble pas valable car Jeet suppose implicitement dans son raisonnement que si f(x)>x pour une valeur de x alors l'inégalité reste valable pour tout x, ce qui ne serait aussi simple à dire que dans le cas continu.

En outre à aucun moment l'hypothèse de croissance n'est utilisée ce qui devrait mettre la puce à l'oreille du lecteur.


Je salue par ailleurs la démonstration d'Alpha, qui m'a remis en mémoire ce schéma de démonstration élégant.

Au revoir

[Jeet-chris]

Salut.

Oui, mais je n'ai pas rédigé ma réponse, j'ai juste donné les grandes lignes.

f(x);)x;)Ø permet de dire dans les deux autres cas que f est soit strictement supérieure à x, car elle est croissante, soit strictement inférieure en restant sous x.

Je veux dire que dans le cas f(x)>x par exemple:
0Si f reste constante, alors quand f(xo)=f(0)=xo, on revient au cas f(x);)x;)Ø. Ce que l'on ne veut pas justement.

Pour ne pas couper x, 2 cas se présentent:
+ Soit f(x) passe sous x, alors [f(0)=f(xo)]>f(x1) avec 0+ Soit f(x) reste au-dessus de x, et f(x1)>[f(0)=xo], et c'est ce que l'on cherche.

C'est ce qui me permet de dissocier les 3 cas distinctement en raisonnant de même pour le cas f(x)
Comme f:[0;1];)[0;1], on peut dire que pour tout x€[0;1], 0;)f(x);)1.

De là je démontre par l'absurde ce que l'on cherche en utilisant le même raisonnement que Alpha, mais présenté différement.

@+

[thomasg]

Je suis d'accord sur le fait que l'idée est facile à visualiser, tout le problème ici est de le rédiger proprement,
hors de nouveau avec ce que tu propose il me semble qu'il y a un problème.
En effet

citation d u message précédent:

"+ Soit f(x) passe sous x, alors [f(0)=f(xo)]>f(x1) avec 0
Il est facile de trouver un contre exemple à cela:
f(0) = 0,5 et f(0,8)=0,6 on passe bien "au dessous" comme tu le dis et l'hypothèse de croissance n'est pas contredite.

Je répète donc que le problème est de rédiger prorement, et je salue à nouveau la démonstration d'Alpha qui bien que classique est très efficace.

Cordialement, au plaisir de lire une réponse.
Au revoir.

[quinto]

Salut,
Excuse moi mais f n'est pas necessairement continue. C'est la ou se manifeste la difficulté de l'exercice.

Oui mais en fait f est nécessairement continue sauf en un nombre (au plus )dénombrable de points.

Une petite généralisation du résultat:
Théorème de Brower
Soit f une application continue de la boule unité de R^n sur elle même, alors f possède un point fixe.

C'est pas trivial

[Jeet-chris]

Salut.

"Il est facile de trouver un contre exemple à cela:
f(0) = 0,5 et f(0,8)=0,6 on passe bien "au dessous" comme tu le dis et l'hypothèse de croissance n'est pas contredite."

Ca n'est pas un contre-exemple à ce que j'ai dit, car f(0,8)>f(0). Je suppose f(0)>0, et dis qu'en x=0,8, f(0,8) ne peut être strictement inférieure à f(0).

Moi je considère le point (0,8;0;8), et dis qu'en ce point, f passe soit dessous, soit dessus. Dans ton exemple, tu as déjà traversé la droite x, alors que je cherche à dire pourquoi en ce point f restera nécessairement au-dessus de x.
En fait, à chaque fois que f tentera de traverser x, elle ne le pourra pas.

Revenons-en à ce que j'ai dit. Ma démonstration n'est pas valable en fait, car je ne peux supposer f(x)>0: je dois rester dans les cas f(x);)x et f(x);)x. Ca reviendrait à poser un problème où il n'y en a pas. De plus, je ne peux pas utiliser les limites finalement. La démonstration avec les sup et les inf est à adopter donc.

@+

[thomasg]

Quinto: peux-tu expliquer la première ligne de ta réponse?
Quinto: peux-tu justifier que Brower avec l'hypothèse de continuité soit une généralisation d'un théorème similaire ne portant que sur la croissance ?

Jeet: je me répète, tout est question de clarté dans la preuve ici.
Je maitiens que telle que c'est écrit la citation ci-dessous (du message de 11h30) est valable

"citation du message précédent:

"+ Soit f(x) passe sous x, !!! alors !!! [f(0)=f(xo)]>f(x1) avec 0
Il est facile de trouver un contre exemple à cela:
f(0) = 0,5 et f(0,8)=0,6 on passe bien "au dessous" comme tu le dis et l'hypothèse de croissance n'est pas contredite."
Le contre exemple contredit le "alors" écrit entre les points d'exclamation.


Jeet: quant à ton dernier message, citation:

"Revenons-en à ce que j'ai dit. Ma démonstration n'est pas valable en fait, car je ne peux supposer f(x)>0: je dois rester dans les cas f(x);)x et f(x);)x. Ca reviendrait à poser un problème où il n'y en a pas. De plus, je ne peux pas utiliser les limites finalement. La démonstration avec les sup et les inf est à adopter donc."

tel que c'est écrit tu peux tout à fait supposer f(x)>0 lorsque f(0)>0.

Je me répète donc, l'important ici est de rédiger correctement.


Au plaisir de poursuivre cette discussion.
Au revoir.

[quinto]

Je n'ai pas dit que ma réponse était une réponse au problème, je brodais autour.
Quel est le problème?

[thomasg]

question 1: pourquoi l'ensemble des points de discontinuité est-il dénombrable ?
question 2: pourquoi parles-tu de généralisation ?

Au plaisir de lire ta réponse.
Cordialement. Thomas.

[quinto]

Bein pour la question 1, c'est parce que c'est vrai (tout simplement). Et pour la 2, dans ma tête je répondais un peu à coté je l'avoue, et ce n'est pas une généralisation de ce théorème ci, mais d'un théorème voisin (ou la croissance n'entre pas en jeu et où on utilise la continuité).

Plus précisement pour la 1, une fonction réelle strictement monotone (on peut réduire à "monotone") possède un nombre dénombrable de discontinuités.
C'est non trivial, et c'est beaucoup plus simple de montrer que la fonction est presque partout continue en fait.

A+

[Jeet-chris]

Salut.

Je suis d'accord que ma phrase est fausse pour tout x>xo, mais pas pour x=xo. C'est ça que j'ai essayé de dire en fait en disant que je considérais le point (0,8;0,8). Ton exemple prend un x>xo. C'est en ça qu'il ne consitue pas un contre-exemple pour moi.
En fait je ne discute que au niveau de la traversée, et non après. Car se retrouver après xo, c'est admettre que f a déjà traversé x, ce que je cherche à infirmer.
En fait, si tu me trouves un contre-exemple à:
f(0)=0,5. f une application croissante(de l'énoncé), telle que pour tout x, f(x);)x. Alors f(0,5)>0,5.
Alors j'admet avoir tort. Mais apparement, le problème vient du fait que je me suis mal exprimé avant.

Pour les limites, il faudrait essayer avec la limite d'une suite d'éléments. C'est donc plus embêtant à écrire.

@+

EDIT: D'ailleurs, mon "alors" n'est pas forcement faux:

Je me cite:

"Je veux dire que dans le cas f(x)>x par exemple:
[B]0f(x1) avec 0<x1, ce qui est contradictoire avec le fait que f(x) croît."

Toutes les conditions nécessaires sont là. Il manquait juste le détail de la traversée impossible. Il fallait montrer une évidence non-évidente.