n est un entier supérieur ou égal à 1. ||.|| désigne la norme euclidienne de
On note
Pour une matrice M de
Pour
Montrer que
Je vois pas du tout comment procéder...
Permanent d'une matrice
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Permanent d'une matrice
par mehdi-128 » 05 Nov 2017, 21:47
Bonsoir,
n est un entier supérieur ou égal à 1. ||.|| désigne la norme euclidienne de
On note
le groupe des permutation de In={1,...,n}
Pour une matrice M de)
et pour i et j éléments de {1,...,n} on note )
la matrice obtenue en supprimant de M la i-ème ligne et la j-ème colonne. Pour un vecteur colonne m, m(j) représente le vecteur colonne m duquel on a ôté la j-ème composante.
Pour \in M_{n,n} (R))
on définit son permanent de )^n)
dans 
par :
=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}m_{1 \sigma(1)} \times ... \times m_{n \sigma(n)})
Montrer que
: = \sum_{i=1}^{n} m_{ij} \times per(M(i/j)))
Je vois pas du tout comment procéder...
n est un entier supérieur ou égal à 1. ||.|| désigne la norme euclidienne de
On note
Pour une matrice M de
Pour
Montrer que
Je vois pas du tout comment procéder...
Re: Permanent d'une matrice
par infernaleur » 06 Nov 2017, 11:29
Salut la première chose à faire si tu ne vois pas comment procéder est d’écrire per(M(i/j)), tu verras qu’ensuite une simple somation par paquets te permettra d’en déduire le résultat.
Re: Permanent d'une matrice
par mehdi-128 » 06 Nov 2017, 19:02
On prend un élément par ligne et on fait tous les produits possibles comme pour le déterminant sauf que y a pas de signe moins mais j'arrive pas à voir comment enlever la colonne j et la ligne i à la fois :
=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}m_{1 \sigma(1)} \times ... m_{j \sigma(j)} \times .... m_{n \sigma(n)})
Y a pas de i qui apparaît dans ma somme
Y a pas de i qui apparaît dans ma somme
Re: Permanent d'une matrice
par infernaleur » 06 Nov 2017, 20:09
tu somme par paquets les i variants de 1 à n tel que sigma(j)=i ( sigma dans Sn) et tu feras apparaître ton i
=i}^{}{m_{1sigma(1)...}})
Re: Permanent d'une matrice
par mehdi-128 » 06 Nov 2017, 22:35
J'avais oublié de donner l'hypothèse suivante :
On tiendra pour acquis que la forme per est multilinéaire et symétrique, c’est-à-dire
invariante par permutation des vecteurs.
D'accord donc déjà le vecteur colonne mj vaut :
} \\ \vdots \\ m_{j \sigma(j)} \\ \vdots \\ m_{n \sigma(n)} <br />\end{array}\right))
On somme bien sur toute les n lignes à chaque fois un éléments différent du vecteur mj donc<br /> \in \{1,...,n\})
Alors :=i}m_{1 \sigma(1)} \times ... m_{j \sigma(j)} \times .... m_{n \sigma(n)} =\sum_{i=1}^{n} \sum_{\sigma(j)=i}m_{1 \sigma(1)} \times ... m_{j i} \times .... m_{n \sigma(n)})
Donc :=i}m_{1 \sigma(1)} \times ... \times m_{j-1 \sigma(j-1)} \times ... \times m_{j+1 \sigma(j+1)} \times ... m_{n \sigma(n)})
Maintenant je fais quoi de mon=i)
dans la somme ?
On tiendra pour acquis que la forme per est multilinéaire et symétrique, c’est-à-dire
invariante par permutation des vecteurs.
D'accord donc déjà le vecteur colonne mj vaut :
On somme bien sur toute les n lignes à chaque fois un éléments différent du vecteur mj donc
Alors :
Donc :
Maintenant je fais quoi de mon
Re: Permanent d'une matrice
par infernaleur » 06 Nov 2017, 23:09
(en fait il aurait été préférable d'utiliser la question 1 pour qu'on ait plutôt :
Peux-tu m'écrire
Re: Permanent d'une matrice
par mehdi-128 » 07 Nov 2017, 00:18
Ah en effet le permanent d'une matrice est égal à celui de sa transposée :
=i \ \sigma \in Sn}m_{ \sigma(1) 1} \times ... \times m_{ \sigma(j-1) j-1} \times ... \times m_{\sigma(j+1) j+1} \times ... m_{ \sigma(n) n})
Le dans la somme n'a plus lieu d'être non vu que dans les produits de termes on n'a plus de )
?
Si je me trompe pas dans la somme des sigmas il manque le terme en j})
donc il s'agit d'une permanent de la matrice m où on a ôté la ième ligne et la jième colonne :
)= \sum_{ \sigma \in Sn} \: \prod_{\sigma(k) \neq i , k\neq j ,k=1}^{n}m_{ \sigma(k) k})
C'est correct ?
Le
Si je me trompe pas dans la somme des sigmas il manque le terme en
C'est correct ?
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