Périodicité 0,1!2!3!4!5!.....

[heloilo]

Bonjour,

est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à démontrer ceci:

pourquoi le nombre 0,1!2!3!4!... (infini) n'appartient pas à Q?

Il faut pour cela montrer que ce nombre ne possède pas de périodicité, ce que je ne sais pas faire.

Merci d'avance pour votre aide!

heloilo

[alben]

Bonjour,
Par l'absurde, tu supposes une période égale à n. Le nombre (5n)! te fournira une suite de plus de n zéros consécutifs et donc tout ce qui suit devrait être formé de zéros-> impossible

[buzard]

Bonjour,

Montrer qu'il n'a pas de période dans son développement décimale, c'est une méthode parmis d'autre.
En regardant du côté des zéros à la fin des n!, tu trouve une contradiction avec la longueur d'une séquence périodique de longueur finie.

en effet le nombre ressemble à :

0,1 2 6 24 120 720 ... ###00 ... #####0000 .... ####### 0000000 ...

en gros le nombre de 0 dans les n! tend vers l'infini, donc impossible de les mettre dans une séquence de longueur finis.
Et puis il y a toujours des chiffres (#) non nulle dans le développement (sinon on aurait un développement décimale finis)

En faite tu peut même montrer qu'il est transcendant, en utilisant les résultats de Liouville sur les approximations rationnelles des nombres algébriques.

[heloilo]

Merci beaucoup pour vos réponses si rapides!