Periodicité de solutions d'equa différentielles

[vinch]

Bonjour,
je suis en révisions pour un partiel de maths et un chapitre sur les équations différentielles me pose problème. En fait dans la plupart des exercices on me demande de montrer que les solutions de systemes différentiels sont périodiques ou non, uniques ou non ... j'imagine qu'en gros les méthode de résolutions sont toutes les memes pourtant dans mon cours je ne vois rien qui peut m'aider (le théoreme de cauchy ? mais comment l'utiliser ici ?)
Je vous donne un exemple si vous pouviez m'aider à le résoudre en invoquant exactement les méthodes utilisées je vous en serai reconnaissant !

Soit f : R²->R*+ une fonction continue.
Montrer que le systeme d'équations différentielles sur R²

x'=y*f(x,y)
y'=-x*f(x,y)

possède une intégrale premiere et que chaque solution (non stationnaire) est périodique.

merci d'avance .

[fahr451]

bonsoir

x^2 + y^2 = x^2(0) +y^2(0) est intégrale première

pour (x,y) solution maximale non singulière on repasse nécessairement en t = T par
M(x(0) ,y(0) ) car sinon on aurait une solution sur un "morceau" seulement de cercle et on pourrait prolonger la solution ce qui contredirait la maximalité

puis x1 (t) = x(T+t) , y1(t) = y(t+T) est encore solution avec la même condition initiale et par unicité (cauchy lipschitz) x1 = x et y1= y et la T périodicité

[vinch]

merci de ta réponse,
moi j'avais trouvé comme intégrale premiere x²+y²=constante
donc ensuite tu choisis des conditions initiales et tu dis x²+y²=x0²+y0²
jusque là je comprends, ensuite tu dis que toute les solutions sont sur le cercle décrit par x²+y²=0 ce que je ne comprends pas c'est que cela nous donne une relation entre la position de x et de y mais pas leur relation temporelle (avec la variable t), voila je ne vois pas ce qui me dit que les solutions "tournent" sur le cercle .

[fahr451]

ce que j'ai expliqué

concrètement partant de

x0 > 0 y0>0 (idem ds les autres cas )

f>0
donc x ' >0 et y ' < 0 au départ x croit y décroit
on décrit le cercle ds le premier quadrant ds le sens trigo
puis y sannule

x ' = 0 et y ' <0 on passe ds le deuxième quadrant x>0 y <0

x' < 0 y'<0 on arrive en x= 0 y = -y0

on passe dans le troisième etc puis le premier on revient en M0
REM si on "s'arrètait " en cours de route on pourrait prolonger la solution maximale définie sur I ( t dans I) par continuité (par monotonie x et y auraient des limites pour t -> sup I) ce qui contredirait le caractère maximale de la solution

et une fois revenu en M0 en un temps fini T , par unicité de la solution x1,y1 définis précédemment sont égaux à x et y

[vinch]

ok merci je vois bien !
bon j'ai un autre probleme, je pose ici ça évite de surcharger le forum et en plus ça va avec le titre (que demande le peuple ???)

tout d'abord le pb :
soit a un entier relatif, montrez que le systeme :
x1'=x1
x2'=x2
admet une intégrale premiere non constante ssi a<=0 (on cherchera d'abord à résoudre le systeme)

ce que j'ai fait :
j'ai trouvé :
x1= C1 exp(t)
x2= C2 exp(a*t)
donc (x1/C1)^a - x2/C2 = 0 c'est bien une intégrale premiere, elle est toujours constante (et meme nulle) d'ailleur je croyais que par définition une intégrale premiere était constante (au moins sur la variable t) donc qu'es ce qu'on entend dans l'énoncé par "intégrale premiere non constante" ?

[fahr451]

soit a un entier relatif, montrez que le systeme :
x1'=x1
x2'=x2
admet une intégrale premiere non constante ssi a<=0 (on cherchera d'abord ?

où qu 'il est donc le a ?

[vinch]

aille pas foutu de recopier un exercice correctement :briques:

donc le systeme est :
x1'=x1
x2'=a*X2

[fahr451]

dans une intégrale première il ne doit pas y avoir les constantes C qui dépendent de la solution

j'aurais pris

F(x1,x2) = aln l x1 l - ln l x2 l sur R^2 \ {x1= 0 ou x2= 0 }


ceci dit
une intégrale première est F

t -> F(x1(t) ,x2(t) ) est constante pour toute valeur de a


pour toute valeur de a F elle n'est pas constante

je ne comprends pas non plus la question.

[vinch]

merci bien !
bon j'en post un dernier (vu que mon partiel est demain) vos réponses m'ont bien aidées je crois que je commance à cerner ce que mes profs attendent que je sache sur le théoreme de cauchy et les intégrales premieres ...

le probleme que je n'arrive pas à résoudre est le suivant (essayons de le recopier sans fautes cette fois):

"montrer que l'équation différentielle x'= 2*|x|^(1/2) possède une infinité de solutions de classe C1 pour la condition initiale x=0, en t=0"

ce que j'ai fait :
tout d'abord je voudrais etre sur, si la condition initiale etait ailleur qu'en 0, il y aurait une seule solution de classe C1 non ? car la fonction sur par exemple ]0;+inf[ est de classe C1, je peux appliquer le théoreme de cauchy

en revanche en 0, le théoreme de peut pas s'appliquer, donc je ne peux pas dire qu'il n'y a qu'une solution (mais ce n'est pas suffisant, il faut encore que je prouve qu'il y en a une infinité)
moi je n'en trouve qu'une, la solution constante y=0, comment prouver qu'il y en a une infinité ? et mon raisonnement precedent etait il correct ?