Perdue en MPSI!: équation différentielle.

[lmn]

Bonsoir,
après avoir passé la journée sur un exo je suis complètement démunie! :mur: Pourriez vous m'éclairer?!! svp.
Voici le problème:

On considère f une solution de l'équation différentielle E définie sur R par:
y'' + exp(x²)y = 0.
1) On définie sur R la fonction U par: pour tout x appartenant à R: U(x) = f(x)² + exp(-x²)f'(x)². Dresser le tableau de variation de U.

2) En déduire que f est bornée.

Voilà voilà...
Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

[Chimerade]

Bonsoir,
après avoir passé la journée sur un exo je suis complètement démunie! :mur: Pourriez vous m'éclairer?!! svp.
Voici le problème:

On considère f une solution de l'équation différentielle E définie sur R par:
y'' + exp(x²)y = 0.
1) On définie sur R la fonction U par: pour tout x appartenant à R: U(x) = f(x)² + exp(-x²)f'(x)². Dresser le tableau de variation de U.

2) En déduire que f est bornée.

Voilà voilà...
Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

Bonjour !

Je simplifie au maximum mes notations...au prix de quelques entorses à la rigueur dont tu me pardonneras, j'espère.

On a :

équation [1]



Je dérive :



J'utilise l'équation [1] pour remplacer f ' '





Il en résulte que U' est du signe de -x. U croît jusqu'à U(0) puis décroît. U(x) est donc inférieur ou égal à U(0). Mais U(x) est positif ou nul : il est supérieur ou égal à 0.

0 <= U(x) <= U(0)

U est donc borné !