Pcsi - comatrices

[Iotup]

Bonjour,

Une question de mon DM me bloque, là voila:

On considère A et A' deux matrices inversibles. Le signe + représente la transposée de la comatrice.
Calculer (AA')+ en fonction de A+ et de A'+. En déduire que si A et A' sont semblables, A'+ et A+ le sont également.

Pour la première partie, j'ai le résultat : (AA')+ = A'+.A+ mais je ne vois pas comment le démontrer... :hein:

Pour la fin, je pense avoir trouvé (si on pouvait me le confirmer ou non...):
A et A' sont semblables si il existe P appartenant à GLn(R) telle que : A' = P^(-1)AP
On utilise la formule précédente : A'+ = P+.A+.P+^(-1)
Comme P est inversible : P+^(-1).A'+.P+ = A+
Dpnc A+ et A'+ sont semblables.

Merci d'avance pour votre aide !

[girdav]

Comme par le cas où et sont inversibles.

[ev85]

Bonjour,

Une question de mon DM me bloque, là voila:

On considère A et A' deux matrices inversibles. Le signe + représente la transposée de la comatrice.
Calculer (AA')+ en fonction de A+ et de A'+. En déduire que si A et A' sont semblables, A'+ et A+ le sont également.

Pour la première partie, j'ai le résultat : (AA')+ = A'+.A+ mais je ne vois pas comment le démontrer... :hein:

Pour la fin, je pense avoir trouvé (si on pouvait me le confirmer ou non...):
A et A' sont semblables si il existe P appartenant à GLn(R) telle que : A' = P^(-1)AP
On utilise la formule précédente : A'+ = P+.A+.P+^(-1)
Comme P est inversible : P+^(-1).A'+.P+ = A+
Dpnc A+ et A'+ sont semblables.

Merci d'avance pour votre aide !

Que vaut AA+ ?

[Iotup]

Que vaut AA+ ?

Merci de l'indication. :lol3:

On a : (AA').(AA')+ = det(AA').In
(AA')+ = det(AA').(AA')^(-1) puisque A et A' inversible
(AA')+ = det(A').A'^(-1).det(A).A^(-1)
et donc (AA')+ = A'+.A+


La fin de la question convient-elle ?

[ev85]

Merci de l'indication. :lol3:

On a : (AA').(AA')+ = det(AA').In
(AA')+ = det(AA').(AA')^(-1) puisque A et A' inversible
(AA')+ = det(A').A'^(-1).det(A).A^(-1)
et donc (AA')+ = A'+.A+


La fin de la question convient-elle ?

Elle a l'air de supposer A inversible. Sinon ça va.

[Iotup]

Bonjour,

je bloque à nouveau sur une dernière question, que voici:
On souhaite déterminer les matrices A appartenant à Mn(R) telle que : A+ = A'
Trouver les solutions lorsque A' est une matrice inversible de Mn(R) puis montrer que si A' est la matrice nulle de Mn(R), toute matrice de rang strictement inférieur à (n-1) est solution.

Pour la première partie de la question, j'ai montré que A était solution de A+ = 1' ssi det(A) était solution de det(A') = (det(A))^(n-1)
Et on discute suivant la parité de n :
Si n est pair -> une unique solution
Si n est impair et que det(A') < 0 -> aucune solution
Si n est impair et que det(A') > 0 -> 2 solutions

Seulement, je n'arrive pas à partir de là à exprimer ces solutions, comment faut-il faire ?

Et pour la deuxième partie, je bloque totalement...

Merci d'avance pour vos indications !

[Iotup]

Personne ? :triste: