Passage à la limite

[joanie58]

Bonjour,

en classe nous avons vu trois lemme/théorème de passage à la limite sous le signe de l'intégrale: le Lemme de Fatou, le Théorème de B. Levi (convergence monotone) et le Théorème de convergence dominé de Lebesgue. On me demande de dire lequel de ces Lemme/théorème est applicable dans le cas de la suite de fonctions suivantes:

[Ben314]

Sauf erreur tu ne répond absolument pas à la question : toi, tu montre que le résultat du lemme de Fatou est vérifié ici alors que ce qu'on te demande c'est de voir si les hypothèses des 3 théorèmes sont vérifiées.

[joanie58]

Sauf erreur tu ne répond absolument pas à la question : toi, tu montre que le résultat du lemme de Fatou est vérifié ici alors que ce qu'on te demande c'est de voir si les hypothèses des 3 théorèmes sont vérifiées.

Aaaaaa tu as surement raison! dans le fond les deux autres théorèmes ne sont pas applicable, car je trouve qu'en permuttant la limite et l'intégrale, on n'obtient pas la même chose.

Pour la convergeance monotone, on n'a pas que la suite de fonction est croissante, donc le théorème ne s'applique pas.

Et pour la convergence dominer ... je ne sais pas trop....

[Ben314]

J'ai pas fait les calculs, mais, si effectivement on trouve des résultat différents lorsque l'on permute limite et intégrale, ça prouve que les résultats des théorèmes de C.V. dominé et de C.V. monotones ne sont pas vérifiés et ça suffit évidement à prouver que les hypothèses ne sont pas vérifiés.

Par contre, pour le lemme de Fatou, y'a (quasiment) pas d'hypothèses donc on peut l'appliquer (mais on risque d'obtenir un résultat peu intéressant du style que l'intégrale de la limite inf. est positive...)