Passage à la limite dans une intégrale généralisée

[zwijndrecht]

Bonjour,

Je cherche à montrer que (la convergence de l'intégrale étant établie pour ).

Je suis parvenu à montrer que , mais je n'arrive pas à montrer le passage à la limite...

J'ai bien pensé au théorème de convergence dominée, mais je ne parviens pas à majorer l'intégrande par une "bonne" fonction ne dépendant pas de ...

Pourriez-vous me mettre sur la voie ?

Merci d'avance.

[pascal16]

A mon avis, tu as deux problèmes différents :
en 0 (valeur infinie)
en +oo
coupe ton intégrale en 2 parties [0:1] et [1;+oo[

[zwijndrecht]

Merci pour ta réponse.

En fait, c'est surtout la partie sur qui m'embête...

Sur , on peut majorer l'intégrande par , qui est intégrable sur car .
Mais sur , il faudrait majorer par quelque chose du type , avec . Et là, je ne vois pas trop ce que je peux faire.
La convergence de l'intégrale en vient du fait que avec . Mais je ne vois pas comment majorer par quelque chose qui ne dépende pas de (nécessaire pour appliquer le théorème de convergence dominée).

[pascal16]

sur [0;1] le changement de variable u=1/x ne te ramène pas à une intégration similaire ?

[Rdvn]

Bonsoir
Je note a pour alpha (n'ayant pas le symbole voulu)
puisqu'il s'agit d'établir une limite pour a tendant vers 1/2 , a>1/2
vous pouvez imposer
1/2 < a <3/4
ce qui vous sera plus favorable
Bon courage

[zwijndrecht]

Effectivement, dans ce cas, convient.
Merci beaucoup !