Pas une partie de R

[Toto256]

Bonjour,

Je voulais savoir pourquoi la partie n'est pas une partie de . Merci.

[lyceen95]

??
Qui a dit que ce n'était pas une partie de R ?

[mathelot]

C'est une partie de ouverte, bornée, connexe, sans borne supérieure ni borne inférieure.

[Toto256]

tout partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure. Pourtant cet ensemble est bien une partie de R non vide, borné donc majoré. Pourquoi n'admet-elle pas de borne sup d'après le théorème.

[lyceen95]

C'est une partie de R qui admet une borne supérieure,
mais la borne supérieure n'appartient pas à cette partie. La borne supérieure est

Un peu comme ]0,5[, la borne supérieure est 5, mais 5 n'est pas dans ]0,5[

Mathelot dit 'autre chose', mais c'est tout aussi exact.
Il ne parle pas du tout de mais de
Je disais que la borne supérieure est ;
Si on ne connait pas mais on connaît seulement , on ne connaît pas , ce nombre n'existe pas. Et donc, dans , quand on s'interdit tous les nombres non rationnels, cette partie n'a pas de borne supérieure.

[mathelot]

bonjour,
ta question est fondamentale car l'ensemble des nombres réels est construit comme sur-ensemble de auquel on ajoute toutes les bornes sup d'ensembles majorés de rationnels.
On les appellent des "coupures", une coupure détermine deux ensembles de rationnels adjacents et tels que
et non vides,

:
Alors , le plus petit des majorants de est égal au plus grand des minorants de

[GaBuZoMeu]

C'est une partie de ouverte, bornée, connexe

Non, pas connexe !

[mathelot]

C'est une partie de ouverte, bornée, connexe

Non, pas connexe !

Bonsoir GaBuZoMeu,
ah oui si

E est la réunion de deux ouverts disjoints non vides. E n'est pas connexe.

Pourtant E vérifie la propriété
si et et alors
alors

[Toto256]

Ok je comprends mieux merci