Partition de R^2 et holomorphie

[Lostounet]

Hello

Je cherche à montrer que R^2 ne peut pas être recouvert par des cercles de rayons > 0.
Je souhaiterais d'abord voir si le raisonnement suivant peut aboutir ou non (quitte à faire autrement par la suite):

S'il existe tel partition, il est nécessaire que les cercles soient concentriques avec un certain cercle du milieu de rayon >0 arbitrairement petit.
Si je considère f une fonction holomorphe sur C, je peux construire alors une suite de domaines C1...Cn tel que |f(z)| soit de plus en plus petit sur chaque domaine (module maximum).
Il existera un cercle pour lequel, pour un rayon positif strict, |f(z)| = 0 sur tout un disque ce qui contredit le principe des zéros isolés.

Y'a-t-il du sens dans ce qui est dit ou non?

[Doraki]

S'il existe tel partition, il est nécessaire que les cercles soient concentriques

Presque, il y a des partitions de R² privé d'un point en cercles non concentriques. (mais bon ça reste vrai que les cercles sont imbriquées les uns dans les autres)

Je comprends vraiment pas grand chose à la suite de ce que tu dis et ça me paraît bien inutilement compliqué.

[Lostounet]

Salut Doraki,

Je vais essayer d'être plus précis (pour voir si le raisonnement est valable ...).
Je considère une fonction f holomorphe sur C non constante. Je prends un cercle extrémal et je dis que (principe du module max) |f(z)| <= max |f(z)| sur le cercle extrémal

Puis je fais de même sur le cercle contenu dans ce cercle extrémal (le module de |f(z)| sera forcément plus petit strictement au sein de ce 2e domaine car f est non constante )...

etc... jusqu'à arriver à un cercle de rayon > 0 pour lequel |f(z)| est le plus petit possible donc 0 (je rapetis le cercle de plus en plus tant que |f(z)| ne s'annule pas).

Alors on aura f(z) = 0 identiquement sur ce plus petit disque, contradiction.

Y'a-t-il une erreur?

[Doraki]

C'est quoi un cercle extrémal ?

Est-ce que tu as supposé que tu avais une partition de C en cercles disjoints et tu cherches une contradiction ?

Et je te rappelle qu'il y a des suites décroissantes qui ne tendent pas vers 0.

[Lostounet]

Oui en fait par cercle extremal je voulais choisir n'importe quel cercle autour du point d'accumulation n... tu vois l'idée ?

[Doraki]

Quel point d'accumulation ? Ca peut être n'importe quel cercle alors ?

[Lostounet]

Oui ça peut. Tu prends un cercle: module de f(z) est maximal sur lui
Tu prends un autre cercle imbriqué dans le premier: module de f(z) < module de f(z) sur le premier cercle

...
On arrive à |f(z)| =0 à un moment (vrai ou faux?)

[Doraki]

Ben comme de base, la situation est impossible je peux pas vraiment te donner de contre-exemple à strictement parler.

Là à te lire j'ai l'impression que t'es en train de dire que pour toute fonction f holomorphe sur C et pour tout cercle, f a un zéro à l'intérieur de ce cercle ?

Il se passe quoi si f est la fonction exponentielle ?


"module de f est maximal sur un cercle" ça veut pas dire grand chose. En revanche, tu peux dire que si t'as un petit cercle imbriqué dans un plus grand cercle, max de |f| sur le petit est strictement inférieur à max de |f| sur le plus grand.

[Lostounet]

Justement j'essaye de montrer que si la partition exigée existait toute fonction holomorphe sera obligée d'avoir un ensemble de zéros non isolés dans le cercle le plus petit de rayon le plus petit (absurde)

[Doraki]

Un cercle de rayon le plus petit !?!?

Je vois vraiment pas comment tu peux justifier que tu puisses diminuer |f| jusqu'à 0 seulement en prenant des cercles de plus en plus petit. Ce n'est pas parcequ'une suite est décroissante que la suite tend vers 0.

[Lostounet]

Bon désolé Doraki j'arrive pas à t'expliquer mieux. Je vais faire un schéma au retour chez moi et je le posterai comme ça on verra ce qui est incompris chez moi.

[Doraki]

Ben le truc c'est que si tu trouves un cercle de rayon le plus petit alors l'intérieur du cercle ne peut pas faire partie de la partition donc tu as une contradiction facile vu que t'es censé recouvrir R² tout entier et pas R² privé de l'intérieur d'un cercle.