Parties connexes d'un e.v.n.

[Pseuda]

Bonjour,

Dans mon cours, cette définition est donnée : on dit que est une partie connexe de e.v.n. s'il n'existe pas un couple d'ouverts de tels que :
(i)
(ii)

Cela ne paraît pas correspondre à l'intution : par exemple si et , les deux hypothèses seraient vérifiées et ne serait pas connexe.

J'aurais rajouté pour éviter cela : (iii) et

Une définition "équivalente" est donnée : on dit que est une partie connexe de s'il n'existe pas de partition de en deux ouverts relatifs ( et ). Justement, il faudrait le (iii) pour avoir l'équivalence.

Dans tous les cas, la 2ème définition paraît "meilleure".

Qu'en pensez-vous ? Merci d'avance.

[Ben314]

Oui, il manque clairement l'hypothèse que ni , ni ne sont vides.
La définition "normale" qu'on voyait jusqu'à il y a quelques temps c'est :
Un espace topologique E est dit connexe s'il n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints.
Avec bien sûr un "pseudo" rajout qui est :
Une partie F d'un espace topologique E est dite connexe si 'espace topologique F (muni bien sûr de la topo induite par celle de E) est connexe

Sauf que l'enseignement de la topo générale, depuis une bonne quinzaine d'année, ça arrête pas d'être repoussé le plus tard possible pour n'être souvent enseigné à l'heure actuelle qu'en master (et encore pas tous...) et que sans définition assez générale de ce qu'est une topologie (au minimum les espaces métriques), on ne peut pas définir la notion de topologie induite (par exemple, avec QUE les e.v.n., il est bien clair qu'une partie quelconque d'un e.v.n. n'est pas forcément un e.v.n.).
Bref, en France, on voit de plus en plus fleurir de nouvelles définitions (telle que celle là) permettant de "faire de la topologie induite sans le dire". Si jamais tu as envie d'un peu comprendre (correctement...) le concept, je t'inciterais plus que fortement à faire ce qu'on faisait dans le temps, à savoir commencer la topo. par les espaces métriques avant de faire de la topo "un peu compliqué" dans les e.v.n. : beaucoup de notions (dont la connexité) sont bien plus claire dans le cadre plus général des espaces métriques, en particulier du fait que la notion de "métrique restreinte" est complètement évidente : si (E,d) est un espace métrique et F une partie de E, alors il est évident que (F,d) est aussi un espace métrique.

[Pseuda]

Ok, merci @Ben314. Si j'ai bien compris, on peut étudier la topologie dans les e.v.n., dans les espaces métriques, et dans les espaces topologiques, la dernière étant la plus générale et englobant les deux autres. Il est peut-être préférable de voir la dernière directement.

[Ben314]

Le cas le plus général, c'est quand même pas mal plus théorique et à mon avis, c'est mieux de l'aborder après avoir à peu prés assimilé celui des espaces métrique où tout reste quand même très très proche de l'intuition.

Et c'est en lié particulier au fait que lorsque tu n'a aucun axiome de séparation, il y a beaucoup de choses qui deviennent fausses et que les axiomes de séparation, vu le nombre qu'il y en a (c.f. la page de wiki dédié), il faut un certain temps pour s'habituer à la logique du bidule (i.e. les différentes implications qu'il y a entre les axiomes et lequel est nécessaire pour que tel ou tel propriété soit vraie). Ça, à la limite, c'est pas forcément rédhibitoire sion commence par étudier (quasi)exclusivement les "espaces séparés", c'est à dire vérifiant l'axiome T2.
L'autre truc pas complètement évident au départ, c'est la notion de "système fondamental dénombrable de voisinage" qui fait que, si tu ne l'a pas, la notion de suites n'est plus suffisante pour définir la topologie et que ça devient plus que pas con de faire un petit détours vers les notions de filtre (et d'ultrafiltres) pour arriver à peu prés à retomber sur ces pattes, c'est à dire trouver quels sont les théorèmes "qui marchent" correspondant à ceux valable par exemple dans les espaces métrique (style une partie F de E est fermée ssi toute suite d’élément de F qui converge dans E à sa limite dans F).

Bref, je t'inciterais plutôt à te restreindre dans un premier temps au cadre des espaces métriques avec bien sûr le cas particulier des e.v.n. (ou des parties des e.v.n.) comme "exemple de base".

[Pseuda]

Bonjour,

Merci pour ta réponse. Je vais la relire attentivement. Je me doute que pour les espaces métriques, la topologie est plus générale que pour les espaces vectoriels normés, puisque ces derniers sont des cas particuliers des premiers (d'une norme, on peut faire une distance, mais pas forcément l'inverse). Donc des trucs vrais chez les derniers, ne doivent pas être forcément vrais chez les premiers.

Je me doute aussi que cela se reproduit aussi entre les espaces métriques et les espaces topologiques, puisque ces derniers sont plus généraux (enfin il me semble) que les premiers.

Mais à l'inverse, d'aborder une notion dans sa globalité peut parfois être plus simple que de l'aborder par un aspect seulement (mais pas toujours). Pour donner un exemple, la connexité par arcs est au programme de MP, pas la connexité. Pour quelle raison ? Cela ne paraît pas plus compliqué. Je dirais même que cela embrouille, parce qu'on se dit que si on a appelé ça "la connexité par arcs", c'est qu'il doit exister "la connexité", et à quoi cela peut bien correspondre ?

Bref, cela se discute. Merci en tout cas.

[Ben314]

De toute façon, tout se qui est pédagogique, forcément, ça se discute...
Et concernant le fait de savoir s'il vaut mieux commencer par le plus général possible ou pas, à mon avis, ça dépend plus que beaucoup du domaine : si on te fait aborder direct le cas le plus général alors que tu ne connaît absolument aucun cas particulier qui peut te servir de "support intuitif", je pense que c'est mal barré.
Par exemple (et justement), d'attaquer direct la topo générale alors qu'on a pas au minimum compris (correctement) la topologie dans R^n , c'est sûr et certain que ça va être la catastrophe.
A l'époque où c'était encore au programme de Licence (l'actuel L3), les "bêtes noires" de la grande majorité des étudiants, c'était la topologie et la théorie de la mesure.

Sinon, sur e.v.n. / métrique / topo générale, le "gap" est beaucoup beaucoup plus grand entre métrique / topo générale qu'entre e.v.n. / métrique : dans le temps, quand on faisait en D.E.U.G. (L2 actuel) systématiquement métrique + e.v.n. et pas e.v.n. tout seul, ça demandait pas tellement plus de temps.

Et concernant connexité/la connexité par arc, si la première à disparu à pas mal d'endroits, ça vient du fait que si on ne connaît pas la notion de topologie induite (ou de métrique induite si on ne fait que les espaces métrique), la définition de "connexe", on comprend assez difficilement à quoi ça correspond intuitivement parlant. Alors que la notion de connexité par arc, là tu as pas besoin de savoir ce que c'est qu'une topologie induite et en plus c'est immédiatement intuitif comme notion. Et ça provient aussi (surtout ?) du fait que pour un ouvert d'un espace localement connexe par arc (donc par exemple pour tout e.v.n.) il y a équivalence entre les deux notions (connexe et connexe par arc). Et vu que quand on fait de l'analyse on travaille quasi exclusivement sur des ouverts certains ont virés la notion qui semblait la moins naturelle. Par contre là où c'est éventuellement un peu con, c'est que les preuves utilisant la notion de connexité sont très souvent bien plus directe qu'avec la connexité par arc.

[Pseuda]

Cela se discute en effet pour savoir s'il vaut mieux commencer par le plus général, ou commencer par le cas particulier. Par exemple, si on commence l'analyse en L1 directement sur les espaces vectoriels normés plutôt que sur , je pense que ce n'est pas une bonne idée. Donc il vaut mieux en général commencer par le plus simple pour aller vers le plus général, je suis d'accord (sauf que là j'ai fait le tour (il me semble) de la topologie dans les e.v.n.), mais parfois quand on étudie le plus particulier, on ressent qu'il y a une théorie plus large derrière qui est connue de la personne qui fait son exposé, et cela peut embrouiller.

Sinon, la notion de connexité me paraît plus naturelle (d'un seul tenant) que celle de connexité par arcs (il existe un chemin continu entre deux points quelconques), et j'imagine mal (pour l'instant) pourquoi ces 2 notions ne sont pas équivalentes. Bon voilà.

[Landstockman]

Si ça peut t'aider à te faire une image Pseuda, l'adhérence du graphe de sin(1/x) est un connexe du plan et pas un connexe par arcs.

[Pseuda]

Ok merci.

[Ben314]

L'autre exemple classique, c'est de prendre la réunion des droites d'équation avec n dans N et de rajouter des segments "de plus en plus haut" qui relient ces droites (calculatoirement parlant, on prend par exemple les segment ).
Pour le moment c'est connexe par arc (donc connexe), mais si tu prend l'adhérence, ça rajoute la droite d'équation x=0, ça reste connexe, mais ce n'est plus connexe par arc.

Et là où on voit que c'est pas complètement évident, c'est que dans les deux cas, si tu essaye de visualiser l'ensemble en question et que tu te demande est-il "d'un seul tenant" ou pas ? ben la réponse "intuitive" est pas bien claire :
Avec l'exemple des droites, celle d'équation x=0 n'est pas "franchement attachée" aux autres droites, mais elle n'est pas non plus "complètement détachée" des autres droites : l'ensemble en question est-il à considérer comme "d'un seul tenant" ou bien comme "composé de deux morceaux" ?

[Pseuda]

Bonjour,

Merci je comprends mieux, bien que cela ressemble fortement à l'exemple de @Landstockman, mais c'est plus détaillé.

En effet, cela me paraît ok :

- ce n'est pas connexe par arcs, car on ne peut pas relier par un chemin continu les points de la droite x=0 aux points des droites x=1/n en restant dans l'ensemble, car la droite x=0 n'est pas incluse dans l'ensemble des droites x=1/n et il serait difficile qu'une fonction (celle qui relie) soit continue là où elle n'est pas définie,

- c'est connexe, parce qu'on ne parle plus de fonctions mais d'ouverts, et l'ensemble ne peut pas être séparé en 2 ouverts disjoints, puisque les droites x=1/n peuvent se rapprocher autant qu'on veut de la droite x=0.

Finalement, ce que je comprends, c'est qu'on définit des notions qui nous semblent acceptables intuitivement pour les représentations mentales qu'on a des ensembles les plus courants. Mais quand on regarde certains ensembles tordus (le mot est peut-être un peu fort) dans le détail, c'est là que les choses se compliquent.

Sinon, j'ai jeté un coup d'oeil sur les espaces métriques, cela ne paraît en effet pas très éloigné des e.v.n., il paraît en effet préférable de commencer par eux, ne serait-ce que pour fixer les idées, car on peut mettre une métrique sur n'importe quel ensemble.