Partie ouverte

[Mukito]

Bonsoir,

Considérons (E,N) un espace normé.

Comment montrer que E est un ouvert?

Je sais qu'il faudrait montrer l'existence d'un réel strictement positif r pour n'importe quel vecteur de E
tel que la boule centrée en x et de rayon r soit incluse dans E.

Peut-on m'éclairer plus à ce sujet?

Merci pour vos réponses,
Mukito

[Nightmare]

Salut,

C'est quoi une "boule centrée en x"?

[Mukito]

Salut Nightmare,

x est un vecteur de E.

Par boule centrée en x je veux dire boule de centre x, ainsi la boule de centre x et de rayon r>0
contient tous les vecteurs y de E tels que N(y-x)
Je ne veux pas utiliser l'argument du complémentaire ensembliste pour dire que E est ouvert. En effet, l'ensemble vide est fermé mais ça je le sais parce que E est ouvert.

Mukito.

[Nightmare]

Ok, la boule de centre x et de rayon r>0 est l'ensemble des vecteurs y de E tels que N(y-x) < r. Toutes les boules sont donc des parties de E.

Maintenant, réfléchis à ce que tu veux montrer pour prouver que E est ouvert.

[Mukito]

Je peux essayer de montrer que l'intérieur de E ne peut que être E.

L'intérieur de E : plus grand ouvert inclue dans E.

Si je réunis toutes les boules de E, vais-je bien obtenir E?

[Nightmare]

Montrer que E est ouvert, c'est montrer qu'on peut trouver autour de n'importe quel point x de E une boule de centre x contenue dans E. Mais une boule est toujours contenue dans E, donc n'importe quelle boule convient!

[Mukito]

D'accord,

Merci.