Partie majorée dans R et Z

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit x un réel quelconque. Soit :



On veut montrer que A est majorée dans

Il est clair que A est majorée dans par x :

Pour je ne comprends pas ce qui suit :

D'après la propriété d'Archimède il existe un entier plus grand que x donc A est majorée dans

[Pseuda]

Bonsoir,

Cela semble pourtant évident. D'après la propriété d'Archimède, il existe n dans Z tel que x<=n. Donc pour tout p dans A, p <=x<=n. Il existe donc n dans Z tel que pour tout p dans A, p<=n. Soit A est majoré dans Z.

[mehdi-128]

" D'après la propriété d'Archimède, il existe n dans Z tel que x<=n"

Dans mon cours la propriété d'Archimède est :


Et pour x=1 :


Or, le x n'est pas forcément positif, et le n est entier relatif et pas naturel comme dans la propriété.

[Pseuda]

Mais pour x<0, le problème est réglé car 0 est dans Z ! Je veux dire par là qu'on n'a pas besoin d'utiliser la propriété d'Archimède dans ce cas.

[mehdi-128]

Pourquoi dans le cours c'est et ici vous utilisez ?

Mon livre donne une variante :

Pour les entiers relatifs :

Et pour x=0 ?

Mais je comprends pas comment on l'obtient à partir de l'original....

[pascal16]

pour x=0, n=1 convient

[hdci]

Une chose importante sur laquelle vous semblez buter : dans la plupart des cas où on cherche à démontrer "il existe", on parle d'une condition suffisante : inutile de chercher tout ce qui peut marcher, dès qu'on en a trouvé un on peut s'arrêter, c'est suffisant.

Par exemple, est-ce qu'il y a un entier plus grand que -3 ? Oui, par exemple un milliard.

On n'est pas obligé de prendre le "meilleur". J'aurais pu prendre comme entier -2 qui est alors le plus petit entier supérieur strictement à -3, mais un milliard est très bien également, vu que la question est "existe-t-il" et n'est pas "quel est le plus petit entier supérieur".

Revenons à Archimède : comme un entier naturel est un entier relatif, s'il existe un entier naturel plus grand que x, a fortiori il existe un entier relatif plus grand que x : il n'y a qu'à prendre le même.

Se pose ensuite la question des négatifs : et bien par définition même un négatif est majoré par 0 (donc par n'importe quel nombre positif, mais maintenant que j'ai trouvé 0 je n'ai pas besoin d'en chercher d'autres)

Inutile de couper les cheveux en quatre, de se faire des noeuds au cerveau : "existe-t-il", donc "il suffit d'en trouver un" et si on en a déjà trouvé un dans un travail précédent, celui-ci fait bien l'affaire.

[Pseuda]

pour x=0, n=1 convient

0 aussi !
si x=<0, A est majoré par 0 qui est dans Z,
si x>0, on utilise la propriété d'Archimède (voir plus haut).

Pas vu le message de @hdci, je laisse.

[aviateur]

Bonjour
Soit x un nombre réel: existe-t-il un nombre entier plus grand que x? Telle est la question.

[pascal16]

Si on accepte la notion de "partie entière", il faut 1 ligne
Si on passe par l'écriture décimale (ou tout autre base), c'est fait en une dizaine de lignes.

Si on part du concept de nombre réel comme limite d'une suite de nombre rationnels
-> par division euclidienne, on sait comparer les rationnels aux entiers
-> puis la limite
soit 2 epsilon à ajouter.

[mehdi-128]

Bonjour
Soit x un nombre réel: existe-t-il un nombre entier plus grand que x? Telle est la question.

Oui toujours.

[mehdi-128]

Une chose importante sur laquelle vous semblez buter : dans la plupart des cas où on cherche à démontrer "il existe", on parle d'une condition suffisante : inutile de chercher tout ce qui peut marcher, dès qu'on en a trouvé un on peut s'arrêter, c'est suffisant.

Par exemple, est-ce qu'il y a un entier plus grand que -3 ? Oui, par exemple un milliard.

On n'est pas obligé de prendre le "meilleur". J'aurais pu prendre comme entier -2 qui est alors le plus petit entier supérieur strictement à -3, mais un milliard est très bien également, vu que la question est "existe-t-il" et n'est pas "quel est le plus petit entier supérieur".

Revenons à Archimède : comme un entier naturel est un entier relatif, s'il existe un entier naturel plus grand que x, a fortiori il existe un entier relatif plus grand que x : il n'y a qu'à prendre le même.

Se pose ensuite la question des négatifs : et bien par définition même un négatif est majoré par 0 (donc par n'importe quel nombre positif, mais maintenant que j'ai trouvé 0 je n'ai pas besoin d'en chercher d'autres)

Inutile de couper les cheveux en quatre, de se faire des noeuds au cerveau : "existe-t-il", donc "il suffit d'en trouver un" et si on en a déjà trouvé un dans un travail précédent, celui-ci fait bien l'affaire.

Je vois...

Dans mon cours on donne la propriété d'Archimède pour les réels :


Déjà pourquoi on enlève les réels nuls dans la définition ?

Je comprends pas comment on en déduit les suivantes :

Pour les réels strictement négatifs :
Pour les entiers relatifs :

[pascal16]

les réels sont non nuls car
x=0 y>0 ne donnerait pas de solution
y=0 : pourrait être intégré

x positif non nul, y quelconque est alors moins restrictif

pour les déductions
la première, c'est la même proposition avec x'=-x et y'=-y

le seconde : avec n dans Z, on s'affranchi du signe

[pascal16]

la seconde serait génréalisable comme ça :


on peut même imposer que |n2-n1|=1
et on retombe sur la notion de "à 2 k pi prés" qui permet de transformer une mesure d' angle en une mesure principale

[mehdi-128]

Ah en fait c'est bon j'ai compris, suffit de prendre -x et -y pour