Partie entière

[Dinozzo13]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour calculer la partie entière suivante :
avec .

Merci d'avance

[alm]

Salut,




Tu peux remarquer que donc



Apparament on a deux éventualité, mais on peut en écarter une ...

[Dinozzo13]

Petite précision : on a bien quels que soient x et n respectivemeent réel et entier naturel :
?
A-t-on ?
si je continue à partir de alors vaut soit , soit .
Or je serais tenté de dire que c'est , mais j'ai du mal à le justifier :mur:

[alm]

Petite précision : on a bien quels que soient x et n respectivemeent réel et entier naturel :
? juste


A-t-on ?

NON! prends et

si je continue à partir de alors vaut soit ,



soit :

Si cela arrive alors donc impossible et c'est pour cela que j'avais dit en haut : un des cas peut être écarté ....je t'avais laissé la balle, hélas !

[Dinozzo13]

(...) quels que soient et respectivemeent réel et entier naturel : (...)
A-t-on ?

Non !
Si et alors et .

L'autre égalité semble vraie.
(Je m'emploierais à la démontrer)

:hum: Tu veux dire 4n²+4n+1<4n²+4n est impossible ?

[Dinozzo13]

:hum: Tu veux dire 4n²+4n+1<4n²+4n est impossible ?

[hammana]

Salut,




Tu peux remarquer que donc



Apparament on a deux éventualité, mais on peut en écarter une ...

On montre facilement que est majoré par 2*n+1 (comparer les carrés), déduire que l'expression donnée est minorée par 4*n+1 (c'est évident) et majorée par 4*n+2

[Dinozzo13]

Est-ce que le fait que ce nombre là soit pair permet directement d'en déduire que sa partie entière n'est pas 2n+1 ?
De même, est-ce que cela permet de dire directement que ce nombre est encadrer par deux entier impair ?

[alm]

On montre facilement que est majoré par 2*n+1 (comparer les carrés), déduire que l'expression donnée est minorée par 4*n+1 (c'est évident) et majorée par 4*n+2

je sais ça, mais ça ne tombe pas du ciel pour un étudiant qui traite l'exo

Naturelement,il commence par encadrer par deux entier à savoir et
En multipliant par il obtient et et c'est à lui de chercher à raffiner davantage l'encadrement...

[alm]

Est-ce que le fait que ce nombre là soit pair ....

Attention! ce n'est pas un nombre entier !

[Euler07]

Oui tout à fait Mohamed c'est comme ça je faisais pour cette exercice, en encadrant successivement par n et n+1

:livre:

[alm]

Oui tout à fait Mohamed c'est comme ça je faisais pour cette exercice, en encadrant successivement par n et n+1

:livre:

Oui Euler07, mais on peut aussi faire comme dit hammana ( cest d'ailleurs ce qu'on espére et c'est plus court ) mais l'expérience montre que la majorité des étudiants font d'abord le premier encadrement et certains (seulement) arrivent à pousser ... évidement il y'en a ceux qui detectent l'inégalité directement ...

[Dinozzo13]

J'aurai une autre petite question :

Dans ce cas précis, on avait le choix entre deux entier 2n et 2n+1.
Mais si on avait le choix parmi 1000 entiers !
Comment aurais-t-on procéder ?
On serait partis du plus grand et on aurait testé les uns après les autres en regardant si l'inégalité est vraie ou fausse ?

[alm]

J'aurai une autre petite question :

Dans ce cas précis, on avait le choix entre deux entier 2n et 2n+1.
Mais si on avait le choix parmi 1000 entiers !
Comment aurais-t-on procéder ?
On serait partis du plus grand et on aurait testé les uns après les autres en regardant si l'inégalité est vraie ou fausse ?

Plus l'écart est grand plus le nombre de résultats possibles augmente
Par exemple, soit n un entier naturel et des nombres réels de parties entières respectives . Que vaut la partie entièere de
Cela va te permettre justement de répondre aussi à ta question concernant pour


En répondant à ces questions, tu arriveras peut être à imaginer ce qui se passerait dans la situation que tu as décrit ci-dessus , mais de toute façon rassure toi car chaque question a une réponse convenable....

Notons aussi que les réponses qu'on donne dans ce forum doivent dépendre du cas qui les pose ... s'il s'engage dans une piste il faut lui donner des indications suivant cet engagement et ce n'est qu'après qu'on lui parle d'une éventuelle meilleure façon que la sienne ..

[Dinozzo13]

Ok, je regarde ça.

Je vous soumets également une autre question qui me trotte, comme ça je n'oublierais pas de vous la poser.
Comment montrer que .
Pendant ce temps, je réfléchis à l'histoire de l'écart :+++:

[newman]

Ok, je regarde ça.

Je vous soumets également une autre question qui me trotte, comme ça je n'oublierais pas de vous la poser.
Comment montrer que .
Pendant ce temps, je réfléchis à l'histoire de l'écart :+++:

Récurrence immédiate,non? pour n=0 ok

avec un naturel quelconque fixé:si on note E(k) la partie entière de k
E(1+ n+x) = 1+ E(n+ x)
= 1 + n +E(x) par hypothése de récurrence
= (1+n) +E(x) hérédité prouvée

[Euler07]

Moi j'aime bien avec une double inégalité en revenant à la définition de la partie entière

:livre:

[Dinozzo13]

Récurrence immédiate,non?

Moi j'aime bien avec une double inégalité en revenant à la définition de la partie entière

:livre:

J'ai pensé à la récurrence, mais je pensais plutôt faire comme Euler07, mais j'ai pas de pistes.

Plus l'écart est grand plus le nombre de résultats possibles augmente
Par exemple, soit n un entier naturel et des nombres réels de parties entières respectives . Que vaut la partie entière de

Quand tu me dis de trouver , tu veux que j'exprime comment ?
En fonction de ?
Si oui, je vois pas bien comment :triste:

[Dinozzo13]

Récurrence immédiate,non?

Moi j'aime bien avec une double inégalité en revenant à la définition de la partie entière

:livre:

J'ai pensé à la récurrence, mais je pensais plutôt faire comme Euler07, mais j'ai pas de pistes.

Plus l'écart est grand plus le nombre de résultats possibles augmente
Par exemple, soit n un entier naturel et des nombres réels de parties entières respectives . Que vaut la partie entière de

Quand tu me dis de trouver , tu veux que j'exprime comment ?
En fonction de ?
Si oui, je vois pas bien comment :triste:

[Zweig]

je sais ça, mais ça ne tombe pas du ciel pour un étudiant qui traite l'exo

Naturelement,il commence par encadrer par deux entier à savoir et
En multipliant par il obtient et et c'est à lui de chercher à raffiner davantage l'encadrement...

Pour un étudiant de Sup comme Dino, l'inégalité arithmético-géométrique doit lui être familière, donc l'inégalité de Hamama est en fait naturelle et directe comme conséquence de l'IAG pour la majoration, la minoration s'en déduit alors en ayant en tête ce que l'on cherche