Partie du cours ambigue

[Anonyme]

Bonsoir a tous
s'il vous plait j'aimerais que vous me clarifier une demonstration qu'on a fait en classe .
il s'agit de la demonstration qui dit que card(P(E))=2^n.
en fait le prof l'(a demontrée par réccurrence:
mais je n'ai pas compris son passage au rang n+1.
au départ,on un enemble E à n element.
si n=1 la relation est verifieé
on l'a suppose vérifiée pour un rang n et on démontre qu'elle verifié pour le rang n+1.
donc le prof a considéré un ensemble F et un element a.
il a posé E=FU{a} avec a n'appartenant pas à F.
donc cardE=n+1
il a dit que si G est une partie de F: soit elle est une partie de F :il ya en 2^n possibilité
ou bien elle est partie de FU{a} il y en a egalement 2^n possiblité.
donc le nombre de G est 2^n+2^n=2^(n+1)

mais ce que je n'ai pas compris c'est pourquoi si G est une partie de FU{a} ona 2^n possibilité??? moi je crois plutot que c'est 2^(n+1) possibilite car
Card(FU{a})=n+1.
AIDEZ MOI S'il vous plait

MERCI

[Zebulon]

Bonsoir,
es-tu familier (/familière) avec la fonction caractéristique?
Je te rappelles quand même ce que c'est:
Soit A une partie de E, on appelle fonction caratéristique de A, notée , la fonction définie sur E, à valeurs dans {0,1}, par:
.
Si oui, je peux te proposer une démonstration plus simple (selon moi...).
Zeb.

[Anonyme]

oui Zeb je connais la fonction caractéristique
j'attend ta demo avec impatience

[Anonyme]

je pense que si cardF=n donc card(FU{a})=n+1. alors pourquoi pas ne pas dire que le nombre de parties G de FU{a} est 2^(n+1) . ( mais le prof a dit que le nombre de G est 2^n)!!!!!
aidez moi SVP

[Zebulon]

Youpi, amusons-nous!
On va montrer que , l'ensemble des parties de E, est en bijection avec , l'ensemble des applications de E dans .

1- Définition de la bijection
Soit ,
[INDENT][/INDENT]
On est bien d'accord que ,
et que est bien définie (à une partie A de E, associe une seule application ).

2- Preuve que est une bijection
a). Montrons que \Phi est surjective
Soit , alors f est une application de E dans .Posons . Pour montrer la surjectivité de , on veut montrer que , ie .
Soit , si alors, par définition de , . Par ailleurs, donc si , donc si alors .
Si , alors par définition de et d'autre part f(x) est différent de 1 par définition de A. Comme f est à valeurs dans , donc .
Donc ,
donc
et donc est surjective.

b). Montrons que est injective
Soient ,
si , alors ,
donc quel que soit , si et seulement si , si et seulement si si et seulement si .
Donc si , alors A=B
donc est injective.

Et donc est une bijection! Ouf! Beaucoup de lignes pour quelque chose d'évident et même que tu savais peut-être déjà!

3- Calcul du cardinal de
Le cardinal de est (tu dois le savoir) et on a montré que est en bijection avec donc...
le cardinal de est . :we:

On y est arrivé! La démonstration que est bijective est un peu pénible, mais une fois qu'on a vu ça, ça va tout seul!

A bientôt, :++:
Zeb.

[Galt]

Bonsoir a tous
il a dit que si G est une partie de F: soit elle est une partie de F :il ya en 2^n possibilité
ou bien elle est partie de FU{a} il y en a egalement 2^n possiblité.
donc le nombre de G est 2^n+2^n=2^(n+1)

mais ce que je n'ai pas compris c'est pourquoi si G est une partie de FU{a} ona 2^n possibilité??? moi je crois plutot que c'est 2^(n+1) possibilite car
Card(FU{a})=n+1.
AIDEZ MOI S'il vous plait

MERCI

Les parties de FU{a} sont de deux sortes : celles qui ne contiennent pas a (et ce sont donc des parties de F) ou celles qui contiennent a et qui sont donc composées de a réuni avec une partie de F.

[yos]

J'AI CORRIGE TON TEXTE COMME SUIT: DIS MOI SI C'EST MIEUX.

au départ,on a un enemble E à n elements.
si n=1 la relation est verifieé
on l'a suppose vérifiée pour un rang n et on démontre qu'elle est verifiée pour le rang n+1.
donc le prof a considéré un ensemble E de cardinal n+1 et un element a de E.
il a posé E=FU{a} .
donc cardF=n
il a dit que si G est une partie de E: soit elle est une partie de F :il ya en 2^n possibilités.
ou bien c'est une partie de E contenant "a" . il y en a egalement 2^n possiblités car elle est du type {a} U H où H est une partie de quelconque
de F.
donc le nombre de G est 2^n+2^n=2^(n+1)