Parité de fonction

[bobi44]

Salut, j'ai un exo sur lequel je bloque un peu...:

"Démontrer qu'il existe un unique couple (f;g) de fonctions définies sur R à valeurs dans R avec f paire et g impaire vérifiant : "pour tout x appartenant a R, e^x=f(x)+g(x)

je suis parti en me disant que si f paire alors f(-x)=f(x) et g(-x)=-g(x), la définition quoi
puis de e^x=f(x)+g(x) → f(x) = e^x -g(x)
donc f(-x)= e^x + g(x) (en utilisant la parité)

mais bon voilà j'ai pas avancé de grd chose au final, et je sais même pas si c'que j'ai fait peut m'être utile, quelqu'un pour m'aider svp?

[chan79]

salut
soit h une fonction définie sur
on a l'égalité classique:


h est donc la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire

[bobi44]

d'acc mais en quoi est-ce que ça peut m'aider ici?
y'a il un moyen de résoudre mon exo sans formule toute définie? (ou en tout cas pas celle ci, que je ne pense pas être censé utiliser pour cet exo, étant donné que je l'ai jamais vue)

[zygomatique]

salut

et tu crois que les mathématiciens ont trouvé ce qu'ils ont trouvé parce qu'il l'avaient vu avant ...

1/ existence

on suppose qu'il existe f paire et g impaire telles que exp x = f(x) + g(x)

donc exp (-x) = f(x) - g(x)

on a donc deux équations à deux inconnues :

exp(x) = f(x) + g(x)
exp (-x) = f(x) - g(x)

il est aisé d'en tirer f et g ... (ho super !!! on retrouve le résultat de chan79 ...

je te laisse l'unicité ...

[FLBP]

Salut,
tu peux commencer par poser :

Cordialement.

[zygomatique]

supposons l'exercice résolu ...

alors l'exercice est résolu ...

donc l'exercice est résolu ...

chouette je peux aller me coucher ...

[aviateur]

Bonjour
La formule "n'est pas toute faite" il suffit de chercher pour la trouver.
En effet si (pour tout x et f paire et g impaire) alors


En ajoutant membre à membre on obtient ....
d'où l'expression de f puis de g....

[bobi44]

salut

et tu crois que les mathématiciens ont trouvé ce qu'ils ont trouvé parce qu'il l'avaient vu avant ...

1/ existence

on suppose qu'il existe f paire et g impaire telles que exp x = f(x) + g(x)

donc exp (-x) = f(x) - g(x)

on a donc deux équations à deux inconnues :

exp(x) = f(x) + g(x)
exp (-x) = f(x) - g(x)

il est aisé d'en tirer f et g ... (ho super !!! on retrouve le résultat de chan79 ...

je te laisse l'unicité ...

Merci pour ta réponse, même si elle aurait pu se passer de ta pointe de sarcasme bof agréable, dommage pour un forum d'entraide je trouve. Evidemment que je sais que c'est pas une formule toute faite, si j'me suis mal exprimé je cherchais plus à la comprendre. Je te remercie quand même pour ton coup de pouce

[zygomatique]

une partie de mes propos répondait évidemment à ça :

d'acc mais en quoi est-ce que ça peut m'aider ici?
y'a il un moyen de résoudre mon exo sans formule toute définie? (ou en tout cas pas celle ci, que je ne pense pas être censé utiliser pour cet exo, étant donné que je l'ai jamais vue)

le moyen est donc de réfléchir ...

et très souvent une des premières choses est de traduire les données en expression mathématique (pour celles qui sont connues évidemment)

[bobi44]

d'acc, je prends le conseil en note !