Parallèlisme droites-plans

par **Elise68** » 23 Juin 2009, 16:19

Bonjour à tous :)

J'ai deux petits soucis concernant des démonstrations ou au moins justifications des deus théorèmes suivants :

Je ne vois pas du tout comment montrer que :
- Si une droite d est parallèle à une droite d1 du pla P, alors d est parallèle à P
et
-Si une droite est parallèle à deux plans sécants, elle est parallèle à leur intersection.

La deuxième me fairait penser au théorème du toit mais je ne vois pas comment l'appliquer ..
Merci d'avance :)

par **uztop** » 23 Juin 2009, 16:37

Salut,

il faut revenir aux définitions du parallélisme:
- deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
- une droite est parallèle à un plan si les trois vecteurs directeurs (celui de la droite et les 2 du plan) sont coplanaires

Donc, si une droite est parallèle à une droite du plan, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Si on ajoute un troisième vecteur, il sera nécessairement coplanaire.

Le deuxième point est exactement le théorème du toit, la démo se trouve ici par exemple: http://www.amemath.net/ame_mathematique2/courseconde/Le%20toit.pdf

par **yos** » 23 Juin 2009, 17:17

Bonsoir.

uztop a écrit:il faut revenir aux définitions du parallélisme

Dans les questions d'incidence, on peut se passer des vecteurs (dans les définitions comme dans les raisonnements). Est-ce souhaitable? C'est une autre histoire.
Pour la question 1.
Parallèle est le contraire de sécant. Supposons d et P sécants en un point A. Soit Q le plan déterminé par d et

(il est bien défini car

sinon d serait dans P). Les plans Q et P se coupent selon

.

donc

.
D'autre part

.
Donc

...

par **Elise68** » 23 Juin 2009, 17:56

Une droite est parallèle à un plan si u appartient à Vect(v,w).
Avec u vecteur directeur de la droite et v,w du plan.
C'est la même chose que dire que les 3 vecteurs sont coplanaires?
enfin je sais pas ça me fait bizarre de dire 3 vecteurs coplanaires.
Et j'ai l'impression que la droite peut vérifier u appartient à Vect(v,w) sans qu'elle soit coplanaire au plan... dans le cas où elle est strictement parallèle au plan ...

par **uztop** » 23 Juin 2009, 21:35

Elise68 a écrit:Une droite est parallèle à un plan si u appartient à Vect(v,w).
Avec u vecteur directeur de la droite et v,w du plan.
C'est la même chose que dire que les 3 vecteurs sont coplanaires?

oui, coplanaire ça revient à dire qu'on peut exprimer un vecteur en tant que combinaison linéaire des deux autres, donc u appartient à Vect(v,w)

Parallèlisme droites-plans

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