Paraboloïde hyperbolique

[toondek]

bonjours à tous,
je viens vous demander votre aide car j'ai un problème de math sur les paraboloïdes hyperboliques (PH) que je n'arrive pas à résoudre.
Voilà le sujet:
On s'intéresse au PH inscrit dans un cube d'arête "a". On prend comme courbes directrices les diagonales non paralèlles de deux faces opposées que l'on subdivise en "n" parties et on joint les points correspondants ainsi obtenues. Le réferentiel est celui des diagonales de la base du cube.
1) Montrer que l'on a à fair à un PH dont on précisera les plans directeurs.
2)Retrouver l'équation algébrique du PH
3)Vérifier les systèmes d'équations permettant de justifier que ce PH est une surface réglée à double plan directeur.

Si quelqu'un a une idée... Je suis complètement perdue.
Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
Dans le référentiel préconisé, les sommets du cube ont pour coordonnées :
(b,0,0) ; (0,b,0) ; (-b,0,0) ; (0,-b,0) ; (b,0,a) ; (0,b,a) ; (-b,0,a) ; (0,-b,a) où
Une des diagonales de la face du bas est l'axe des x qui a comme équation paramétrique M(t):(t,0,0) avec t réel [ t=-b donne le sommet (-b,0,0) et t=b donne le sommet (b,0,0) ]
La diagonale non parallèle à l'axe des x de la face du haut a pour équation paramétrique N(t):(0,t,a) [ t=-b donne le sommet (0,-b,a) et t=b donne le sommet (0,b,a) ]
Pour t fixé, les points de la droite D(t)=(M(t)N(t)) sont les barycentres de M(t) et N(t) affectés des coeff 1-s et s (où s décrit R) ils ont donc pour coordonnées (1-s)(t,0,0)+s(0,t,a)=((1-s)t,st,sa) [ ce qui donne te une équation paramétrique du paraboloïde hyperbolique ]

1) Les droite D(t) sont dirigées par les vecteur M(t)N(t) et il faut que tu trouve à quel pla appartiennent tout ces vecteurs.

2) Partant de l'équation paramétrique x=(1-s)t ; y=st ; z=sa (s,t dans R), il faut (en isolant les paramètres) que tu trouve l'équation cartésienne du paraboloïde hyperbolique.

3) Je comprend pas trop : tout paraboloïde hyperbolique est une surface réglé (la fin de la question est peut-être lié au fait qu'il possède deux familles de génératrices...)

[alavacommejetepousse]

bonjour
d'après ce que je comprends pour la 3) il s'agit de le retrouver ici

[Ben314]

bonjour
d'après ce que je comprends pour la 3) il s'agit de le retrouver ici

C'est fort possible....

Dans ce cas, tu part d'un point (x,y,z) qui vérifie l'équation paramétrique du 2) et d'un vecteur (X,Y,Z) quelconque puis tu regarde à quelle condition (sur X,Y,Z) la droite d'équation paramétrique (x,y,z)+t(X,Y,Z) est entièrement contenue dans la surface d'équation ce que tu as au 2).
Tu devrait trouver systématiquement (i.e. pour tout (x,y,z) de la surface) deux solutions pour la direction (X,Y,Z) ce qui montre que la surface définie par l'équation du 2) est "doublement" réglée.
[ Les deux plans vectoriels contenant les deux familles de solutions (X,Y,Z) sont les deux plans directeurs. ]