Ouvert/fermé

[Cam12]

Bonsoir, est ce que est fermé dans R? ouvert dans R?

En fait, je voudrais savoir si mon raisonnement tient la route :
Pour ouvert, je dirais non car [1,2] n'est pas ouvert.
Pour fermé, je prends le complémentaire qui n'est ni ouvert, ni fermé donc A n'est pas fermé.

Conclusion : A n'est ni ouvert , ni fermé?

[Nightmare]

Salut,

[1,2] n'est pas ouvert et pourtant [1,2] U (son complémentaire dans R) est bien évidemment un ouvert.

Pour dire qu'une union de deux ensembles n'est pas ouverte, il ne suffit malheureusement pas de dire qu'un des deux ne l'est pas.

Bref, ici, pour montrer que A n'est pas ouvert, tu peux par exemple prendre une boule ouverte centrée en 2. Il est clair qu'aucune d'entre elle n'est dans A, ce qui suffit à dire que A n'est pas ouvert.

A n'est pas non plus fermé. Si on munit R de la distance usuelle, ceci se prouve facilement en considérant la suite qui est une suite d'éléments de A mais qui ne converge pas dans A (puisque 0 n'est pas dans A), donc A ne peut être fermé.

[Doraki]

Si t'as des arguments pour dire que le complémentaire du machin n'est ni ouvert ni fermé, ça suffit pour dire que le machin n'est ni ouvert ni fermé.
Mais dans ce genre d'exo, il faut appliquer les définitions de bases :

On montre qu'un truc est pas fermé en débusquant une suite d'éléments du truc qui tend vers un réel qui n'est pas dans le truc.
On fait ça pour truc = le machin puis pour truc = complémentaire du machin.