Orthogonalité

[chococoo]

bonsoir a tous...
pouvez vous m'aider sur cette question :
E=l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] muni du produit scalaire usuel intégrale de f*g avec f et g dans E
on pose F={f dans E / f(o)=0}
comment determiner l'orthogonal de F et d(1,F) ?
merci

[chococoo]

quelqu'un a t'il une idée ?

[tize]

Bonsoir, en espérant ne dire aucune bêtise...
Soit alors est un ouvert qu'on peut supposer non vide (enfin...quitte à prendre plutôt prendre alors la fonction g de F telle que sur et sur (genre affine par morceaux).
On a alors car f.g est strictement positive sur ]a,b[ or on doit avoir =0 puisque donc et et

[chococoo]

euh {f>0} correspond a quoi ?

[tize]

C'est

[tize]

Pour d(1,F), tu peux considérer fn(t)=nt si t<1/n et fn(t)=1 sinon et calculer d(1,fn) et faire tendre n vers l'infini...

[yos]

Bonsoir.
F est un hyperplan (noyau de fl), donc est dense, donc la distance cherchée est nulle.

[chococoo]

merci pour ces réponses,je crois que j'ai compris !!

[tize]

Bonsoir.
F est un hyperplan (noyau de fl), donc est dense, donc la distance cherchée est nulle.

Clair, net et précis, comme toujours :++:

[yos]

Clair, net et précis

Pas si sûr mais ça peut aider. Je réponds pas vraiment à la question 1 et il est pas sûr que l'on ait le droit d'utiliser cette propriété des hyperplans en dimension infinie.

[ThSQ]

hyperplan donc est dense

A moins que je comprenne mal la phrase ça me parait faux : des hyperplans fermés (donc non denses) ça existe même en dimension infinie et au-delà ! Ils coïncident précisément avec formes linéaires continues.

Bon, il se trouve qu'ici la forme linéaire est pô continue.

[ThSQ]

Un 'tit up car ça m'intrigue ce truc.

[yos]

Ben oui j'ai pas tout dit : dimension infinie et fl pas continue.
C'est vrai que c'est bizarre : codimension 1 et supplémentaire orthogonal de dimension 0. J'ai peut-être raté un truc.

[tize]

Salut,
j'avais bien compris, Yos, ce que tu as voulu dire dans le message 7...
Je confirme, tu n'as raté aucun truc, ici l'orthogonal n'est pas suppmémentaire, ce qui peut arriver souvent en dimension infinie, un cas particulier en dimension infinie pour lequel on a est quand F est complet (ce qui n'est pas le cas ici)

[yos]

Merci Tize, pour ces informations. Je ne me souviens pas avoir vu ça.