Orthogonalité dans l'espace

[lucie68]

Bonjour à tous !

J'ai deux résultats sur l'orthogonalité dans l'espace que j'aimerais démontrer, mais je n'y arrive pas ..

Le premier :
Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.

J'ai pris deux droites sécantes de P, D1 et D2 de vecteurs directeurs respectifs u1 et u2.
Soit D orthogonale à P de vecteur directeur u, et D' parallèle à D de vecteur directeur u'.
on sait que u.u1=0
u.u2=0
u'.u1=0
u'.u2=0.

Mais comment en déduire que u et u' sont colinéaires ..
Sûrement qu'il ne faut pas raisonner comme ça, mais je ne sais pas comment autrement !

Et mon deuxième problème :
Comment montrer que deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.

Je rappelle que une droite orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à toute droite du plan.

Je planche dessus depuis un petit bout de temps, alors si vous savez je suis preneuse :)

Merci beaucoup !!

[uztop]

Salut,

pour la première question, je dirais que définissent une base de l'espace donc
Or ce qui implique que et sont nuls.

Pour la deuxième, un plan est défini par un point et par un vecteur normal. Le vecteur normal est le même donc ...

[Elise68]

Ah oui enfaite pour les plans, on utilise qu'il existe un unique plan contenant un point donné et orthogonale à une droite donnée ..
Et comme là, le point n'est pas donné , on peut dire que les plans ayant la même direction sont parallèles ..

Et sinon, j'ai pas mal de problèmes avec l'orthogonalité dans l'espace, en voici un autre :
ON se place dans l'espace.
J'ai deux plans P1 et P2 perpendiculaires.
Soit d une droite orthogonale à P1, alors j'aimerais montrer qu'elle est parallèle à P2.

C'est dans le cadre d'une leçon. Je n'ai pas donné de définition de droite parallèle à un plan.
J'imagine qu'on pourrait prendre :
Si une droite et un plan ont un unique point commun alors ils sont sécants.
Si une droite et un plan ne sont pas sécants alors ils sont parallèles.

Mais je ne sais pas comment m'en sortir après !
En tout cas merci!

[Elise68]

Ah oui enfaite pour les plans, on utilise qu'il existe un unique plan contenant un point donné et orthogonale à une droite donnée ..
Et comme là, le point n'est pas donné , on peut dire que les plans ayant la même direction sont parallèles ..

Et sinon, j'ai pas mal de problèmes avec l'orthogonalité dans l'espace, en voici un autre :
On se place dans l'espace.
J'ai deux plans P1 et P2 perpendiculaires.
Soit d une droite orthogonale à P1, alors j'aimerais montrer qu'elle est parallèle à P2.

C'est dans le cadre d'une leçon. Je n'ai pas donné de définition de droite parallèle à un plan.
J'imagine qu'on pourrait prendre :
Si une droite et un plan ont un unique point commun alors ils sont sécants.
Si une droite et un plan ne sont pas sécants alors ils sont parallèles.

Mais je ne sais pas comment m'en sortir après, alors si t'as une autre idée :)
En tout cas merci!

[lucie68]

Ah oui enfaite pour les plans, on utilise qu'il existe un unique plan contenant un point donné et orthogonale à une droite donnée ..
Et comme là, le point n'est pas donné , on peut dire que les plans ayant la même direction sont parallèles ..

Et sinon, j'ai pas mal de problèmes avec l'orthogonalité dans l'espace, en voici un autre :
On se place dans l'espace.
J'ai deux plans P1 et P2 perpendiculaires.
Soit d une droite orthogonale à P1, alors j'aimerais montrer qu'elle est parallèle à P2.

C'est dans le cadre d'une leçon. Je n'ai pas donné de définition de droite parallèle à un plan.
J'imagine qu'on pourrait prendre :
Si une droite et un plan ont un unique point commun alors ils sont sécants.
Si une droite et un plan ne sont pas sécants alors ils sont parallèles.

Mais je ne sais pas comment m'en sortir après, alors si t'as une autre idée :)
En tout cas merci!