Bonjour à tous !
Je prépare une leçon de CAPES sur l'orthogonalité dans l'espace et j'ai quelques soucis ..
Je définis qu'une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.
*Je dois tout d'abord montrer que si deux plans P et P' sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthog à l'autre.
Alors j'avais pensé à une démonstration mais je suis pas tout à fait sûre quant à sa validité :
D est perpendiculaire à P. Soient alors d1,d2 deux droites sécantes de P, alors D est orthog à d1 et D est orthog à d2.
Je pensais alors à introduire d3,d4 les projetés orthogonales de d1 et d2 sur P'.
du coup, d3 et d4 seraient deux droites sécantes de P'.
Et si j'arrive à montrer que D est invariante par cette projection, alors par conservation du produit scalaire, j'ai gagné ..
* Et je dois aussi montrer que deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
Et de même, deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
Je viens de montrer un théorème me disant qu'il existe :
-un unique plan contenant un point A et orthogonal à une doirte donnée
-une unique droite passant par un point A et orthogonale à un plan donné
Peut être que mes deux affirmations, en sont deux conséquences ..
Mais je ne vois pas comment ..
Merci beaucoup à vous !
*J'aurais enfaite encore un 3ème problème ...
Dans une démo je dois introduire le lemme suivant :
Lemme : soient P1 et P2 deux plans perpendiculaires.
Alors, toute droite orthogonale à P1 est parralèle à P2.
Là encore, j'ai pensé à une démonstration.
Mais je ne pense pas qu'elle soit très rigoureuse, et il faudrait que j'utilise que une doirte est parallèle à un plan ssi elle est parallèle à toute droite de ce plan.
Est ce juste? A priori ça me semble acceptable, mais je n'en suis pas sûre ...
Merci :)