Orthogonalité dans l'espace

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lucie68
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Enregistré le: 21 Fév 2009, 19:44

Orthogonalité dans l'espace

par lucie68 » 29 Mar 2009, 14:47

Bonjour à tous !

Je prépare une leçon de CAPES sur l'orthogonalité dans l'espace et j'ai quelques soucis ..
Je définis qu'une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.

*Je dois tout d'abord montrer que si deux plans P et P' sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthog à l'autre.
Alors j'avais pensé à une démonstration mais je suis pas tout à fait sûre quant à sa validité :

D est perpendiculaire à P. Soient alors d1,d2 deux droites sécantes de P, alors D est orthog à d1 et D est orthog à d2.
Je pensais alors à introduire d3,d4 les projetés orthogonales de d1 et d2 sur P'.
du coup, d3 et d4 seraient deux droites sécantes de P'.
Et si j'arrive à montrer que D est invariante par cette projection, alors par conservation du produit scalaire, j'ai gagné ..

* Et je dois aussi montrer que deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
Et de même, deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.

Je viens de montrer un théorème me disant qu'il existe :
-un unique plan contenant un point A et orthogonal à une doirte donnée
-une unique droite passant par un point A et orthogonale à un plan donné

Peut être que mes deux affirmations, en sont deux conséquences ..
Mais je ne vois pas comment ..

Merci beaucoup à vous !

*J'aurais enfaite encore un 3ème problème ...
Dans une démo je dois introduire le lemme suivant :
Lemme : soient P1 et P2 deux plans perpendiculaires.
Alors, toute droite orthogonale à P1 est parralèle à P2.

Là encore, j'ai pensé à une démonstration.
Mais je ne pense pas qu'elle soit très rigoureuse, et il faudrait que j'utilise que une doirte est parallèle à un plan ssi elle est parallèle à toute droite de ce plan.
Est ce juste? A priori ça me semble acceptable, mais je n'en suis pas sûre ...

Merci :)



busard_des_roseaux
Membre Complexe
Messages: 3151
Enregistré le: 24 Sep 2007, 15:50

par busard_des_roseaux » 29 Mar 2009, 16:00

bj,

sans vouloir préjuger d'autres réponses, il faut que tu distingue bien
l'affine du vectoriel:

un plan affine P est dirigé par un plan vectoriel
de même,une droite affine D est dirigée par une droite vectorielle

la relation d'orthogonalité s'écrit en vectoriel , avec le produit scalaire.

D est perpendiculaire à P si
(la direction de D est incluse dans l'orthogonal de la direction de P)


Ensuite , on dispose d'une relation de parallèlisme faible entre
deux variétés affines

si

on voit que le parallèlisme en affine, se traduit par des inclusions
d'espaces vectoriels, donc avec des combinaisons
linéaires.

or,

entraine:


si l'on note l'orthogonal d'un s.ev A.


lecture conseillée: "Géométrie" de michèle Audin chez EDP sciences,
"Géométrie" de Yves Ladegaillerie chez ellipses et les livres
de Marcel Berger.

 

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