J'ai quelques soucis avec des égalités à montrer dans le cadre de l'algèbre bilinéaire.
Je me place dans un cas assez général:
Les égalités sont les suivantes :
(1)
(2)
A priori elles ne sont pas toutes vraies toutes les deux en général, mais elles seraient vraient quand E et F sont de même dimension finie et b est non dégénérée. Mais j'ai du mal à voir quand et où ces conditions sont nécessaires. Par exemple j'ai l'impression que l'égalité (1) est vraie dans le cas général. Pour l'égalité (2), j'ai l'intuition qu'on pourrait montrer une des deux inclusions dans le cas général.
A priori c'est pour utiliser ce résultat qu'on a besoin de conditions supplémentaires :
Théorème : Si E et F sont de même dimension finie et b est non dégénérée alors
(Il est démontré, par exemple, dans le gourdon page 128 (théorème 3) dans un cadre un peu plus restreint mais reste juste dans cas général)
Lemme 1 :
Preuve : cela découle directement de la définition :
Pourriez vous m'aider sur le reste, déméler le vrai du faux et pour quelle égalité / inclusion on utilise le théorème du Gourdon et les conditions qui y sont associées ?
Est-ce vrai que (1) est vraie dans le cas le plus général (je mettrais une preuve plus tard si je n'ai pas de réponse ou si quelqu'un demande à la voir)