Orthogonalité : bien définie ?

[Trident]

Salut à tous. Je me pose une question en relisant la définition de mon cours suivante :

"Soit (E, ) un espace pré hilbertien. On dit que deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux si =0".

Pour que cette définition soit cohérente, il faudrait pas montrer que si l'égalité =0 est vraie pour un produit scalaire sur E, alors elle est vraie pour tous les produits scalaires sur E?
Car sinon, on dirait "x et y sont orthogonaux pour " ?

Ainsi, il faudrait montrer que si et sont deux produits scalaires sur E, alors pour tout x et y dans E, on a :



J'ai réussi à faire une preuve dans le cas où E est de dimension finie (i.e, E espace euclidien). En supposant que , on a :

par Cauchy-Schwarz (où désigne la norme associée à ) puis comme E est de dimension finie, toutes les normes sur E sont équivalentes donc on peut trouver tel que 0 car

Mais dans le cas ou E est pré hilbertien, les normes ne sont pas toutes équivalentes donc on ne peut pas appliquer ce raisonnement.

[Skullkid]

Bonjour, l'orthogonalité est relative à un produit scalaire. Si jamais on se retrouve dans une situation où on a deux produits scalaires non équivalents sur un même espace, alors oui il faut préciser de quel produit scalaire on parle.

Un exemple bien connu est celui des familles de polynômes orthogonaux, qui sont orthogonaux relativement à tel ou tel produit scalaire.

[zygomatique]

salut

un produit scalaire est une forme bilinéaire bla bla bla ...

je ne vois pas pourquoi deux vecteurs x et y orthogonaux pour une forme bilinéaire b le seraient pour toute autre forme bilinéaire ....

quand on parle de vecteurs orthogonaux c'est toujours sous-entendu par rapport au produit scalaire défini sur l'espace ....

dans le plan p((x, y), (a, b)) = ax + by (le produit scalaire usuel) et b((x, y), (a, b)) = 2xa + 3yb sont deux produits scalaires ....

est-ce que p(u, v) = 0 <==> b(u, v) = 0 ?

[Trident]

Merci pour vos reponses.
@zygomatique : je dirais oui car R^2 est de dimension finie sauf si ce que j'ai raconté plus haut est faux.

[Skullkid]

Dans ce que tu as écrit tu parles d'équivalence des normes ("si deux vecteurs sont proches pour une norme alors ils sont proches pour l'autre"), mais ce n'est pas lié à l'équivalence des produits scalaires ("si deux vecteurs sont orthogonaux pour un produit scalaire alors ils sont orthogonaux pour l'autre"). Toutes les normes de R^2 sont équivalentes mais il y a une infinité de produits scalaires non équivalents.

Si tu reprends l'exemple de zygomatique, les vecteurs (1,1) et (-3,2) sont orthogonaux pour le produit scalaire qu'il cite, mais pas pour le produit scalaire canonique.

[Trident]

Ah ok mais a quel endroit exactement mon raisonnement est inccorect?

[Skullkid]

Quand tu dis " = 0 donc x = 0 ou y = 0". Deux vecteurs peuvent être orthogonaux sans qu'aucun des deux soit nul !

[Trident]

Quand tu dis " = 0 donc x = 0 ou y = 0". Deux vecteurs peuvent être orthogonaux sans qu'aucun des deux soit nul !

Ah oui je suis bête ! Inconsciemment j'ai pensé à =0 donc x=0 !

Merci en tout cas !