Ordre total sur C

[ribéry_]

Bonjour , en relisant mon cours j'ai trouvé un joli résultat dont je n'ai aucune idée de la démonstration : ( je pense que c'est un classique )

Il n'existe pas d'ordre total sur C qui en fasse un corps totalement ordonné.

Si quelqu'un sait , je l'en remercie ..

[quinto]

Bonjour , en relisant mon cours j'ai trouvé un joli résultat dont je n'ai aucune idée de la démonstration : ( je pense que c'est un classique )

Il n'existe pas d'ordre total sur C qui en fasse un corps totalement ordonné.

Si quelqu'un sait , je l'en remercie ..

Bonjour,
si c'etait le cas, quel serait le signe de i et de -i?
Tu arriveras à une contradiction.
a+

[Vedeus]

Dans un corps totalement ordonné, tous les carrés sont positifs.
Mais tous les complexes sont des carrés, donc ... il y a un problème.

[kazeriahm]

une précision :

on appelle ordre raisonable sur C (ou sur tout autre corps) un ordre < tel que

pour tout a,b,c complexes a0 alors a
Tout ca pour dire qu'il n'existe effectivement pas d'ordre total et raisonable sur C, c'est ce qu'on dit quinto et Vedeus.

Parcontre il existe des relations d'ordre totales sur C (mais donc non raisonables), par exemple :

pour z=x+iy et z'=x'+iy',

z<=z' ssi x

[El_Gato]

Ce que tu appelles "ordre raisonnable" c'est simplement un ordre compatible avec la structure algébrique de C.

Il existe plein d'ordres totaux sur C, par exemple l'ordre lexicographique, mais aucun d'eux n'est compatible avec la structure algébrique de C.

[kazeriahm]

oui oui el gato... l'adjectif "raisonable" je l'ai vu dans mon cours
l'ordre lexicographique c'est pas l'ordre que j'ai donné ???

[El_Gato]

oui oui el gato... l'adjectif "raisonable" je l'ai vu dans mon cours
l'ordre lexicographique c'est pas l'ordre que j'ai donné ???

Oui à une nuance près: (x,y) < (x',y') ssi:

x < x'
sinon (et pas x = x') si y < y'.

Bref les antécédents de x + iy c'est tous ceux en dessous plus ceux à gauche, mais qui dépassent pas la ceinture.

[quinto]

une précision :

on appelle ordre raisonable sur C (ou sur tout autre corps) un ordre 0 alors a<b implique a*c<b*c.

Tout ca pour dire qu'il n'existe effectivement pas d'ordre total et raisonable sur C, c'est ce qu'on dit quinto et Vedeus.

Parcontre il existe des relations d'ordre totales sur C (mais donc non raisonables), par exemple :

pour z=x+iy et z'=x'+iy',

z<=z' ssi x<x' (strictement) ou si x=x', z<=z' ssi y<=y'.

Tu as raison, mais l'énoncé précise que l'on veut que C soit un corps totalement ordonné. Lorsque l'on précise "corps", celà signifie que l'on veut également que l'ordre soit ce que tu appelles raisonnable.
Ce sont des petites subtilités linguistiques...

[kazeriahm]

okay dakor :id:

[catharaxie]

Me semblerait plus visuel l'ordre lexicographique sur le module et l'argument.

[El_Gato]

Me semblerait plus visuel l'ordre lexicographique sur le module et l'argument.

On obtient alors un équivalent du lexicographique mais en spirale.

Ton ordre il serait mal vu à l'armée.