Ordre de la methode du point milieu

[waddle30]

bonjour tout le monde.
Je m'intéresses aux approximations d'intégrales et plus précisément à la méthode du point milieu.
En cours on nous a dit que cette méthode est d'ordre 0 ou 1.
J'ai trouvé une démonstration sur le net qui dit :
si f est une fonction de classe C² sur [a,b] alors:

[smb]infegal[/smb]


ou |f"(x)|



avec


après avoir fait la démonstration il est dit que la méthode est d’ordre 2 :

puisqu'il existe une constante M telle que |I-R_n |;)M/n^2 la méthode du point milieu est d’ordre 2 or je ne comprend pas pourquoi.

Enfin j'ai vu un exemple où on vérifier que cette méthode est d'ordre 2 c'est-à-dire que l'erreur commise en utilisant cette méthode est un O(1/N^2 )=O(h^2) avec h=(b-a)/n
On vérifie que cette méthode est d’ordre deux avec l’exponentielle sur l’intervalle [0,1]
On trace le ln de l'erreur en fonction de ln h. On obtient une droite de pente 2. Ceci veut dire que l'erreur Commise est proportionnelle au carré du pas de discrétisation. Donc quand h est petit (N grand).

pouvez vous m'expliquez s'il vous plait.
merci par avance.

[Nightmare]

Salut,

pour vérifier qu'une approximation est d'un certain ordre N, ne faut-il pas simplement vérifier qu'elle est exacte dans le cas des polynômes d'ordre < N ?

Si c'est bien le cas, alors ce que tu appelles la méthode du point milieu est d'ordre 1.

[waddle30]

Salut,

pour vérifier qu'une approximation est d'un certain ordre N, ne faut-il pas simplement vérifier qu'elle est exacte dans le cas des polynômes d'ordre < N ?

Si c'est bien le cas, alors ce que tu appelles la méthode du point milieu est d'ordre 1.

en effet pour f(x)=x²
on a (1/2n²)-1/3
alors que l'intégrale de 0 à 1 de x² est 1/3 donc la méthode est d'ordre 1
mais pourquoi est-elle d'ordre 2 avec l’exponentielle sur l’intervalle [0,1]?
on fait pareille?

[waddle30]

en effet pour f(x)=x²
on a (1/2n²)-1/3
alors que l'intégrale de 0 à 1 de x² est 1/3 donc la méthode est d'ordre 1
mais pourquoi est-elle d'ordre 2 avec l’exponentielle sur l’intervalle [0,1]?
on fait pareille?

up s'il vous plait