Ordre d'un élément

[titine]

Bonjour,
un exercice très facile :
(G,+) un groupe d'élément neutre e.
Pour tout a de G et pour tout n de Z, on pose :
na=a+a+...+a (n termes) si 00 tel que qa=e. Le + petit des entiers q, soit p, est appelé l'ordre de a. Démontrer que p est le nombre d'éléments de A.

Pourriez vous me donner une indication pour la dernière question ?
Merci d'avance.

[abel]

Effectivement il est facile... :ptdr:

[titine]

Mais encore ...?
Excusez moi mais avec la chaleur mon cerveau fond !!!

[murray]

bonjour,
un raisonnement par l'absurde te donnera rapidement la réponse....

[titine]

Tu veux dire qu'il faut supposer pcardA et arriver dans les 2 cas à des contradictions ...?

[murray]

désolé le raisonnement par l'absurde, c'était pour la première partie de la question.
La deuxième partie coule de source comme qa=e alors (q+1)a=a (q+2)a =a+a
etc... tu recommences un nouveau cycle.
IL y a donc bien q éléments dans A

[abcd22]

Bonjour !

La deuxième partie coule de source comme qa=e alors (q+1)a=a (q+2)a =a+a
etc... tu recommences un nouveau cycle.
IL y a donc bien q éléments dans A

Ca montre seulement qu'il y a au plus p éléments dans A. Il faut aussi dire que les éléments e, a, ..., (p-1)a sont tous distincts, ça se montre par l'absurde.

[murray]

exact quoique cette partie est immédiate na=n'a entraine (n-n')a=e entraine
n=n' (car a inversible).

[abcd22]

C'est quand même utile de justifier même si on trouve que c'est évident, car tu as donné une justification fausse : si na = n'a, on peut seulement dire que p divise n-n' (avec une justification à faire (a est inversible seulement pour la loi +). Ce qu'il faut dire c'est que s'il existe tels que et alors et ça contredit la minimalité de .

Rq : La façon la plus simple de rédiger pour montrer qu'il y a au plus p éléments dans A est d'utiliser la division euclidienne : si n est un entier relatif, avec , donc .