Ordre de convergence

[jeje56]

Bonjour,

Si je prends comme définition : u_n converge plus vite que v_n vers l si la limite de |u_n-l|/|v_n-l| est nulle, comment retrouver qu'une suite dont la convergence est d'ordre p converge plus vite qu'une suite dont la convergence est d'ordre plus petit que p ?

La cv de u_n vers l est d'ordre p lorsque pour tout n :
où M>0

Merci bcp !

[jeje56]

Personne ?...

[alavacommejetepousse]

bonjour avec cette déf c'est impossible à montrer car faux en général

une suite d'ordre 2 avec cette déf pourra être aussi d'ordre 3

[Doraki]

Déjà, y'a aucun espoir de montrer un résultat du genre puisque si (un) est d'ordre p alors un est aussi d'ordre q avec q < p, et donc ça voudrait dire que (un) converge plus vite qu'elle même.

Ensuite, même si tu définis l'ordre comme étant "le plus petit p tel que ...",
ça reste faux :

Soit (un) la suite définie par
u(2n) = e^(-8^n)
u(2n+1) = e^(-2*8^n)
Et soit (vn) la suite définie par
v(n) = e^-3^n.

(un) est d'ordre 4.
(vn) est d'ordre 3.
un/vn tend vers l'infini, donc un ne converge pas plus vite que vn.

Peut-être que si tu dis qu'une suite est d'ordre p si la suite (log|(u(n+1)-l)/(un -l)|) tend vers p, on peut avoir quelque chose..

[Finrod]

Ensuite, même si tu définis l'ordre comme étant "le plus petit p tel que ...",

Tu voulais dire "le plus grand p tel que" , non ?

A priori, comme tu l'as remarqué juste avant le plus petit p ce sera toujours 1 (parmi les p entier solution) puisque si la formule est vrai pour un elle est vrai pour les plus petits.