Orbites d'une opération

[Bibaloo]

Bonsoir,

Je planche sur un exo qui va sans doute vous paraître évident... moi là je rame !!! Alors si vous avez de quoi m'apporter quelques éléments de réponse, je suis preneuse ! Merci !!
Voilà l'énoncé qui me pose problème :

Soit K un corps. Le groupe GL(2;K) opère naturellement sur l'espace vectoriel K^2 (c'est-à-dire par A.X=AX).
Combien cette opération a-t-elle d'orbites ?

Je n'ai sûrement pas saisi l'ensemble des notions du cours sur les actions de groupes, car pour moi il y a autant d'orbites que d'éléments dans l'ensemble... sauf que, certaines orbites sont égales. Alors, comment avec un énoncé abstrait (à mon goût... ) puis-je comparer les orbites entre elles et ainsi déterminer leur nombre ?
Merci d'avance à tout le monde !!!

[alben]

Bonsoir,

Une orbite c'est une classe d'équivalence. Deux éléments de K^2 X et Y appartiennent à la même orbite s'il existe A de GL(2,K) tel que Y=AX. Il n'y a en fait que très peu d'orbites...
Il te poser la question : connaissant X et Y est-ce que je peux trouver une matrice inversible A telle que Y=A.X et que se passe-t-il si X=(0,0) ? noté en ligne par facilité d'écriture
Normalement tu as autant d'orbites que d'oreilles :we:

[Bibaloo]

:ptdr:
Merci pour ton indication, grâce à laquelle je vais répondre fièrement qu'il y a deux orbites pour cette opération ! Tu confirmes ? :zen:
Bon, plus sérieusement, il est maintenant temps pour moi de comprendre pourquoi il y a deux orbites, ni plus, ni moins...
Alors, je m'intéresse au cas X=(0,0) comme tu me l'as suggéré. J'applique la définition d'une orbite à mon énoncé, et au cas X=(0,0) : l'orbite de (0,0) sous GL(2;K) est l'ensemble des A.X=A.0=0 avec A appartenant à GL(2;K). Donc en fait c'est {0} ? Corrige-moi si je me trompe...
Par contre pour le cas général, j'avoue que j'ai encore du mal... Je n'arrive pas à "visualiser" de telles matrices, le corps K² étant tellement abstrait... :cry:
Merci en tout cas d'avoir pris du temps pour me répondre ! Si tu as d'autres suggestions, n'hésite pas !
Bonne soirée ! :we:

[alben]

Bonsoir,
Pour 0 c'est bien ça.
Attention, l'espace vectoriel K^2 n'est pas un corps. Il est constitué de vecteurs.

[Bibaloo]

Oups, oui pardon ! J'ai confondu... c'est K un corps et K² l'ev. Merci de la précision !

[tize]

Sans faire trop appel à la théorie tu peux poser les choses et par exemple chercher l'orbite du vecteur .
Si ne peux tu pas trouver facilement une matrice qui vérifie ?

[Bibaloo]

Merci Tize pour ton indication.

Dans le cadre de ton exemple, avec Y=(a b), X=(1 0), je trouve M=(x y,z t) (càd première ligne x y et deuxième ligne z t ; désolée je ne sais pas écrire sous forme de matrice...) telle que :

x=a
z=b
y et t sont quelconques
xt-zy différent de 0

Est-ce cela ?
Mais, une fois cette matrice trouvée, comment savoir si tous les autres vecteurs de K ont la même orbite ? Il suffit juste d'arriver au cas général, en disant que pour tout vecteur X, pour tout vecteur Y, il existe une matrice M telle que Y=MX, qui est la matrice de passage de X à Y ? Je veux dire, on ne peut rien préciser de plus ? Ainsi il n'y a qu'une autre orbite en dehors de {0} qui est MX ?
Comme tu peux le voir c'est encore brouillon dans ma tête...
Merci de m'éclairer encore un peu si tu le peux ! :help:

[alben]

Bonsoir

Courage tu vas y arriver.
Par construction a et b ne sont pas nuls tous les deux.
Il te faut étudier tous les cas.
a et b non nuls tu peux fixer y à 1 et t à 0
si a est nul, ça marche aussi
si b est nul, il faut faire un autre choix sinon ta matrice n'est pas inversible.

Une fois cette cuisine faite, réfléchit à ce que tu viens de trouver.
le vecteur (1,0) est équivalent à n'importe quel vecteur (a,b) à condition que a et b ne soient pas tous les deux nuls...
Et une relation d'équivalence c'est symétrique et transitif !