Orbite de x

[Ncdk]

Bonjour,

J'ai du mal à montrer une équivalence :

Soit (G,.) un groupe fini d'élément neutre e. On note Z(G) son centre tel que l'ensemble Z(G) = {}

De plus R est une relation d'équivalence de G définie par xRy si et seulement si il existe un a appartenant à G tel que

Question : Si , on note Orb(x) et on appelle orbite de x la classe de x pour R. Montrer que

Je voulais savoir déjà si je comprends bien la question :
Peut-on noter ? Car c'est la définition d'une orbite qu'ils ont donné. Mais je vois pas comment traduire le fait que Orb(x)={x}.
De plus si , par définition de l'ensemble Z(G), ça veut dire que x commutent avec tous les éléments de G.

Mais après je vois pas comment faire cette équivalence...

[barbu23]

Salut,
Tu prends l'action suivante : définie par : . C'est une action de groupe par conjugaison.
Cordialement. :happy3:

[zygomatique]

salut

l'orbite de x sous l'action de la conjugaison est l'ensemble des z tels qu'il existe y dans G tel que

donc orb(x) = {x} pour tout y de G

[Ncdk]

C'est quoi en fait l'orbite de x sous l'action de conjugaison, je connais pas cette notion de conjugaison, pourriez-vous m'éclairer ?

[L.A.]

Bonjour,

les orbites sont bien les classes d'équivalence pour la relation qui t'est donnée.
Pour le sens facile : prends un élément x du centre de G et regarde s'il y a beaucoup d'éléments y dans sa classe : prends un y et écris ce que tu sais sur y (et tu ne sais qu'une chose en fait...)

[Ncdk]

Hum on sait qu'il existe un a dans G tel que Mais comme x est dans Z(G) alors il commute avec les éléments de G, donc il commute avec a, alors on obtient y=x et puis bas on tombe sur du et c'est ça l'orbite de x ?

[L.A.]

Tu es parti d'un élément y quelconque de l'orbite de x, non ?
Et tu as prouvé que y=x, non ?
Donc orb(x) = {x}.

L'autre sens est à peine plus compliqué...

[Ncdk]

En fait je dois m'embrouiller la pour comprendre...

On est partit d'un y quelconque, et d'un x quelconque dans Z(G) aussi, donc si on trouve y=x en quoi ça prouve immédiatement que l'orbite est réduit au singleton x ?

Pour l'autre sens, on part du fait que Orb(x)={x} donc pour un a de G on a on tombe sur donc x commute avec un élément a quelconque de G donc pour tout a de G, alors x appartient à Z(G)

[zygomatique]

pour tout élément a de G on considère la fonction de G dans G définie par :

REM : f_a est la fonction/action "conjugaison par a"

alors (voir ton autre post pour la notation N(g))


maintenant fixons g

alors : c'est donc l'ensemble des images de g par tous les f_a)

si e est le neutre de G on a donc donc


si orb(g) = {g} alors pour tout a :: g commute avec tout élément de G

[Ncdk]

Excellent merci, mais est-il faux de considérer une fonction f(g) plutôt que f_a(g) ?

En fait considérer f(g) simplement, sa signifie que ce qui ne dépend pas de g est constant comme a par exemple mais si on met f_a(g) on montre que a et g varie ? c'est seulement la raison ?

[zygomatique]

on conjugue par un élément donné a ..

il n'y a aucune raison que ...

par contre pour tout élément a et b de Z(G) on a évidemment

...

[Ncdk]

D'accord, merci c'est beaucoup mieux :)