je suis allé assister aux oraux de l'agrégation externe aujourd'hui. Voici quelques éléments des couplages proposés (le candidat choisit un sujet de leçon parmi 2, celui en gras) et ce qu'il en est ressorti. Le déroulement de l'oral est toujours le même quelque soit la leçon : un plan exposé en 8 minutes, puis un développement en 15 minutes, qui est choisi par le jury parmi ceux proposés par le candidats. Enfin, des questions/exercices suivant le temps qu'il reste.
1 - Analyse : Couplage Suites et séries de fonctions / Espaces de Schwartz et transformée de Fourier
Convergence uniforme => convergence simple. Réciproques partielles (Dini,...).
Propriétés invariantes par passage à la limite (croissance, convexité, continuité...)
Convergence uniforme et dérivabilité.
- Étudier la convergence de la suite de fonctions
- Étudier la série de fonctions de terme général
- Convergence normale => Convergence uniforme. Réciproque?
2 - Algèbre : Couplage Polynômes d'endomorphismes en dimension finie / Utilisation des groupes en géométrie
On se place dans le cas
Polynôme caractéristique, trigonalisation, lemme des noyaux, polynôme minimal.
Développements :
- Théorème de Burnside + caractérisation des matrices nilpotentes.
- Réduction des endomorphismes orthogonaux.
Questions :
- Si P et Q sont deux polynômes, que dire de
- CNS sur des matrices nilpotentes pour qu'elles soient semblables.
- Les matrices
- Réduction de Dunford
- Classes de similitude en petite dimension (2,3,voire 4).
- Que savez-vous des invariants de similitude?
3 - Algèbre : Couplage Représentations complexes des groupes finis / Extensions de corps
Généralités, degré d'une extension, sous-corps, sur-corps, corps de rupture. Clôture algébrique.
Développements :
- Dénombrement des polynômes irréductibles de
- Polygone régulier à n côtés constructible à la règle et au compas =>
Questions :
-
- Y a-t-il "beaucoup" de nombres transcendants?
- Racine cubique de 2 est-il constructible à la règle et au compas?
- Existe-t-il des sous-corps de
- Autre interprétation de la fonction de Mobius?
- Si
- Le polynôme
- Degré de l'extension
- Que savez-vous des polynômes minimaux des racines de l'unité?
Il y a eu aussi un oral de modélisation à partir d'un texte (calcul de la probabilité de ruine d'un casino) et un autre oral d'algèbre un peu plus abstrait (groupes quotients, sous-groupes distingués).
N'hésitez pas à enrichir ce fil, soit en répondant aux questions posées par le jury, soit en proposant des développements, des exemples, contre-exemples, ou encore en demandant des détails sur un des sujets évoqués.
Luc