Oral

[Sourire_banane]

Bonjour,

Je viens de m'essayer à un petit exo d'oral, et j'ai été rapide, ce qui me parait surprenant au vu de la nature de l'exo. Je demande juste une petite vérification sur la démarche :

Soit E un ev de dim finie (que je nomme n), et u un endomorphisme de E.
Montrer que Ker(u)=Im(u) ssi uou=0, dim(E) est paire et dim(E)=2rg(u)

Au vu de la proposition "dim(E) paire et dim(E)=2rg(u)", je me propose de ne traiter seulement que "dim(E)=2rg(u)". Si Ker(u)=Im(u), soit y appartenant à Im(u), alors il existe un x de E tel que y=u(x), y appartenant aussi à E puisque u est un endo. Alors u(y)=u(u(x))=0 puisque y est également dans Ker(u). Pour tout x de E on a uou(x)=0 donc uou=0.
D'après le théorème du rang, on a directement dim(E)=dim(Ker(u))+rg(u)=2rg(u).

Et c'est tout ?
Merci d'avance.

PS : Non désolé, j'ai oublié de traiter la réciproque... Je reviens si j'ai des problèmes.

PPS : Il s'avère que l'autre sens est tout aussi rapide. Avec le théorème du rang j'obtiens dim(Ker u)=dim(Im u). Il me reste à montrer l'une des inclusions Ker u inclu dans Im u ou l'autre.
Il est judicieux de traiter Im u inclu dans Ker u (ce qui est immédiat avec le fait que uou=0)...
Fini ?

[leon1789]

Au vu de la proposition "dim(E) paire et dim(E)=2rg(u)", je me propose de ne traiter seulement que "dim(E)=2rg(u)".

remarque judicieuse (le rang de u étant un entier)

Si Ker(u)=Im(u), soit y appartenant à Im(u), alors il existe un x de E tel que y=u(x), y appartenant aussi à E puisque u est un endo. Alors u(y)=u(u(x))=0 puisque y est également dans Ker(u). Pour tout x de E on a uou(x)=0 donc uou=0.

Tu vois que ce n'est pas correct.
Prend x dans E quelconque, puis calcule u(u(x)) ...

D'après le théorème du rang, on a directement dim(E)=dim(Ker(u))+rg(u)=2rg(u).

ok

Il s'avère que l'autre sens est tout aussi rapide. Avec le théorème du rang j'obtiens dim(Ker u)=dim(Im u). Il me reste à montrer l'une des inclusions Ker u inclu dans Im u ou l'autre.
Il est judicieux de traiter Im u inclu dans Ker u (ce qui est immédiat avec le fait que uou=0)...

ok, mais vu ton erreur au-dessus, il faut peut-être expliquer un tout petit peu.

si tu n'avais pas fait l'erreur au-dessus, je n'aurais pas tiqué sur ton immédiat. Tu vois, accepter une preuve, c'est subjectif.

[Sourire_banane]

remarque judicieuse (le rang de u étant un entier)


Tu vois que ce n'est pas correct.
Prend x dans E quelconque, puis calcule u(u(x)) ...


ok


ok, mais vu ton erreur au-dessus, il faut peut-être expliquer un tout petit peu.

si tu n'avais pas fait l'erreur au-dessus, je n'aurais pas tiqué sur ton immédiat. Tu vois, accepter une preuve, c'est subjectif.

Salut leon1789

Ok, je crois que j'ai mal interprété le fait que Ker(u)=Im(u). On a à la fois "pour tout y de Im(u), u(y)=0", mais aussi "tout y de Im(u) peut s'écrire sous la forme u(x)". En fait ici je crois que j'ai seulement la surjectivité de u mais pas son injectivité, ce qui fait que tout x de E peut ne pas répondre à uou(x)=0 (ou peut-être que je m'embrouille encore plus ?).
Alors pour essayer de voir le pb d'un angle différent, je prends d'abord x appartenant à E. On trouve y dans Im(u) tel que y=u(x), puis le même y appartenant à Ker u, j'obtiens u(y)=uou(x)=0, donc pour tout x de E, on a uou=0.

[leon1789]

Ok, je crois que j'ai mal interprété le fait que Ker(u)=Im(u). On a à la fois "pour tout y de Im(u), u(y)=0", mais aussi "tout y de Im(u) peut s'écrire sous la forme u(x)".

Ker(u)=Im(u) implique "Ker(u) contient Im(u)" , et ceci est équivalent à "pour tout y de Im(u), u(y)=0"


L'assertion "tout y de Im(u) peut s'écrire sous la forme u(x)" est une trivialité, indépendante de toute hypothèse.

En fait ici je crois que j'ai seulement la surjectivité de u mais pas son injectivité, ce qui fait que tout x de E peut ne pas répondre à uou(x)=0 (ou peut-être que je m'embrouille encore plus ?).

Là, c'est petit chinois ton histoire :lol3:

Alors pour essayer de voir le pb d'un angle différent, je prends d'abord x appartenant à E. On trouve y dans Im(u) tel que y=u(x), puis le même y appartenant à Ker u, j'obtiens u(y)=uou(x)=0, donc pour tout x de E, on a uou=0.

yes.

Mais je ne dirais pas u(y)=uou(x)=0 , mais plutôt 0=u(y)=uou(x) ... tu vois ce que je veux dire ?

[Sourire_banane]

Ker(u)=Im(u) implique "Ker(u) contient Im(u)" , et ceci est équivalent à "pour tout y de Im(u), u(y)=0"


L'assertion "tout y de Im(u) peut s'écrire sous la forme u(x)" est une trivialité, indépendante de toute hypothèse.


Là, c'est petit chinois ton histoire :lol3:



yes.

Mais je ne dirais pas u(y)=uou(x)=0 , mais plutôt 0=u(y)=uou(x) ... tu vois ce que je veux dire ?

Oui je vois très bien ce que tu veux dire, question de bien exhiber que c'est parce qu'on a u(y)=0 qu'on peut dire que uou(x)=0.
Et pour ce qui est de ma précédente affirmation, je crois qu'en effet c'était pas clair dans ma tête, mais c'est bon maintenant !
Merci

[leon1789]

:zen: :we: