ORAL ENS MATHS 2016

[MZERRAK]

Salut
De la RMS :

SVP quelqu un a des idees pour cet exercice

[aviateur]

Bonjour Qu'est ce que cela veut dire "de la RMS"?

Sinon pour le a) je dirai bien
Soit Alors (car A est un s-groupe) . Donc à part l'ensemble vide et les singletons ....

pour le b) je ferai bien une récurrence, pour k=1 c'est vrai.
Je suppose dc que c'est vrai pour k.
Soit donc (des s-groupes)
et B dans A vérifiant la propriété et tel que (raisonnement par absurde.)
ne contient au plus qu'un élément (sinon) contradiction avec la première question.
Donc contient au moins k+1 éléments, mais cela n'est pas possible sinon on aurait une contradiction avec l'hypothèse de récurrence relativement à

pour le c) Utilisons que est croissante pour l'inclusion.
Pour k=1, i.e card(A)=2. On peut vérifier rapidement en considérant tous les cas possibles que l'assertion est vrai.
Soit A_1 de cardinal 2^{k+1} et A_0 un sous ensemble de A_1 de cardinal 2^k et son complémentaire (dans A_1) nommé A_2 qui est aussi de même cardinal 2^k.
Là je dois partir je ne sais pas si mon début de raisonnement va marcher en tout cas c'est une question intéressante

[EulBofo]

Pour le b), il suffit d'utiliser le lemme des tiroirs : si est réunion de sous-groupes de , alors pour toute partie de possédant éléments, deux d'entre eux sont dans le même sous-groupe, donc leur somme aussi.
Ainsi, dans ce cas, .
Pour le c), pour ma part, je verrais bien un découpage de en union disjointe des , où est l'ensemble des entiers compris entre et . Mais je n'ai pas encore finalisé l'idée.

[EulBofo]

pour le c) Utilisons que est croissante pour l'inclusion.

n'est pas vraiment croissante pour l'inclusion : on a par exemple pour (prendre , ça peut filer des idées pour la suite ), alors que ...

[MZERRAK]

Elle est croissante sur les ensembles finis

[aviateur]

Oui, Ok pour