Oral des Mines ( de la trigo )!

par **bourbaki** » 10 Sep 2006, 09:49

bonjour
ça fait des heures que je me casse la tête à résoudre cet exo:
soit (a,b,c) dans R3 tel que:
cosa+cosb+cosc=sina+sinb+sinc=0
prouver que
cos(2a)+cos(2b)+cos(2c)=sin(2a)+sin(2b)+sin(2c)=0
ets ce que ce résulktat tient encore si on remplce (2a,2b,2c) par (3a,3b,3c)??
donnez moi juste le point de départ!
merci :happy2:

par **yos** » 10 Sep 2006, 10:42

Que dire du triangle abc?

par **haydenstrauss** » 10 Sep 2006, 10:48

l'angle abc = a+b+c (angle a b et c )

enfin j'en suis vraiment pas sur

par **bourbaki** » 10 Sep 2006, 10:55

vous voulez dire le triangle ayant pour cotés a, b c ? ou bien, a b et c sont les angles de ce triangle?

par **yos** » 10 Sep 2006, 11:37

Sommets a,b,c!!
Complexe= point du plan (via un repère orthononormé direct).
Parle du point A d'affixe a si tu préfères.

par **bourbaki** » 10 Sep 2006, 11:39

d'acord je vais essayé
merci yos :++:

par **bourbaki** » 10 Sep 2006, 16:35

j'ai beau essayé mais en vain
on a exp(ia)+exp(ib)+exp(ic)=0. j'ai utilisé les formules des angles moitié dans une page de calcul pour faire apparaitre le 2a 2b et 2c mais je n'ai aboutit à rien.
quelle l'utilité d'introduire un triangle? est ce qu'on doit utiliser une propriété spéciale des triangles?
merci :marteau:

par **bourbaki** » 10 Sep 2006, 18:13

:hein: alors qu'enpensez vous?

par **abcd22** » 10 Sep 2006, 18:31

Bonjour,
Le problème consiste à traduire de façon géométrique la propriété

(c'est ce que yos essaie de te faire faire), rappelle-toi de

, où G est le centre de gravité des points

et

...
Que peut-on donc dire du centre de gravité du triangle de sommets d'affixes

? Et de la nature de ce triangle ?

par **yos** » 10 Sep 2006, 20:16

Ah oui, j'ai merdé dans les notations. Ce sont les points A,B,C d'affixe

qu'il faut considérer (et pas a,b,c).
Comme le dit abcd22, ABC est équilatéral car son centre de gravité coïncide avec le centre de son cercle circonscrit (ce dernier point est un problème de géométrie niveau seconde environ). On a donc b=a+2pi/3, et c=a-2pi/3 (ou l'inverse). Après on a facilement 2b, 2c en fonction de a et ç'est assez facile.
Si on veut éviter la géométrie, ça le fait aussi par le calcul, en remarquant que pour u,v,w complexes de modules 1, on a

. On applique ceci à

et on élève au carré les deux membres de l'égalité

. On arrive alors au résultat souhaité

.

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