Oral centrale: diagonalisabilité

par **emdro** » 29 Juin 2007, 15:51

Bonjour,

Pour vous exercer si vous passez Centrale, et pour m'aider à y voir clair...

Soit E un K-ev de dimension finie n>0.
Pour u dans L(E), on définit Fu par la fonction de L(E) dans L(E) qui à tout v associe Fu(v) défini par Fu(v)=vou (v rond u).

1) Vérifier que pour tout u dans L(E), Fu est dans L(L(E)). (Ca ça va...)
2) Démontrer que Fu est diagonalisable <=> u est diagonalisable.
.....a) avec les polynômes annulateurs
.....b) en comparant spectres et vecteurs propres de u et de Fu

Merci!

par **yos** » 29 Juin 2007, 16:17

Bonjour.
Pour le a), il faudrait K algébriquement clos.
Après c'est facile je crois car

(en effet

).

par **emdro** » 29 Juin 2007, 17:01

J'y avais pensé à K algébriquement clos, mais ce n'est pas indiqué dans l'énoncé... y a-t-il un contre exemple avec K=IR par exemple?

Et le b), tu as une idée?

par **yos** » 29 Juin 2007, 17:26

Ben non en fait, c'est pareil sur R . De façon générale : u diagonalisable ssi il existe un polynôme annulateur de u, scindé dans le corps K et à racines simples. Oublie l'algébriquement clos.
Le b) je vais regarder.

par **emdro** » 29 Juin 2007, 17:31

Merci Yos de m'aider sur ce coup-là. J'avoue que mes connaissances sont désormais bien éloignées pour ce genre de problème!

Pour Lelong-Ferrand, le corps est supposé algébriquement clos pour énoncer le théorème diagonalisabilité <=> le polynôme minimal n'a que des racines simples.

par **yos** » 29 Juin 2007, 17:40

D'après le a) (que je ne vais pas utiliser, mais qui me donne l'idée), u et

ont les mêmes valeurs propres.
Prenons

. On veut

. Ca équivaut à

, puis

puis

.
Voilà : l'espace propre

de

associé à la vp k est formé des endomorphismes v dont le noyau contient

. Je te laisse réfléchir à la dimension de

en fonction de celle de

.

par **emdro** » 29 Juin 2007, 17:51

Le noyau contient

, cela fait

contraintes. D'où:

C'est ça?

NB Je dois partir. A ce soir, tard...

par **yos** » 29 Juin 2007, 18:03

Rain 1
emdro 0

par **Yipee** » 29 Juin 2007, 20:10

C'est un exercice ultra classique ! Tu as du le voir en cours !

par **emdro** » 30 Juin 2007, 01:36

@Yipee,

Disons qu'il y a 16 ans que je suis sorti de la prépa, donc il y a un moment où les exos ultra-classiques faits en cours ne laissent plus trop de traces! :happy2:

@Yos,
Un 0, c'était bien mérité... Merci pour la solution en tout cas!

par **emdro** » 30 Juin 2007, 01:43

@Rain'
Pour moi, Centrale, c'était il y a 16 ans moins une semaine! :dodo:

Bonne chance à toi, en tout cas.

par **emdro** » 30 Juin 2007, 01:54

J'avais Centrale Paris, mais je suis allé à Sup'Aéro. Tout cela pour finir prof de maths...

par **Yipee** » 30 Juin 2007, 08:43

emdro a écrit:@Yipee,

Disons qu'il y a 16 ans que je suis sorti de la prépa, donc il y a un moment où les exos ultra-classiques faits en cours ne laissent plus trop de traces! :happy2:

Ah OK, je pensais que tu passais les concours... :ptdr:

par **SimonB** » 30 Juin 2007, 10:50

Ah, on peut faire prof de maths après Sup'aéro ! Voilà qui m'intéresse !
(Bon, il faudra[it] déjà avoir Supaéro... ;) )

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